ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1532 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции:

1. f (х) = х3 + 3х2 — 9х + 4;
2. f(х) = х4 — 2х5 + 5.

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 — 9x + 4$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^3)’ + 3(x^2)’ — (9x — 4)’$$ $$f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x — 9 = 3(x^2 + 2x — 3)$$

Промежуток возрастания:

$$x^2 + 2x — 3 > 0$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$(x + 3)(x — 1) > 0$$ $$x < -3 \quad \text{и} \quad x > 1$$

Ответ:

$$x = -3 \quad \text{— точка максимума; }$$ $$x = 1 \quad \text{— точка минимума.}$$

2) $f(x) = x^4 — 2x^5 + 5$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^4)’ — 2(x^5)’ + (5)’$$ $$f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 5x^4 + 0 = 2(2x^3 — 5x^4)$$

Промежуток возрастания:

$$2x^3 — 5x^4 > 0$$ $$x^3 \cdot (2 — 5x) > 0$$ $$x^3 \cdot (5x — 2) < 0$$ $$0 < x < 0,4$$

Ответ:

$$x = 0,4 \quad \text{— точка максимума; }$$ $$x = 0 \quad \text{— точка минимума.}$$

1) $f(x) = x^3 + 3x^2 — 9x + 4$

Шаг 1: Находим производную функции

Для нахождения производной функции используем стандартные правила дифференцирования:

• $(x^n)’ = n x^{n-1}$,
• Производная константы $0$.

Теперь дифференцируем каждое слагаемое:

$$f'(x) = (x^3)’ + 3(x^2)’ — (9x)’ + (4)’$$ $$f'(x) = 3x^2 + 3 \cdot 2x — 9 + 0 = 3x^2 + 6x — 9$$

Здесь мы использовали правило для дифференцирования степени $x^n$, для каждого члена функции.

Шаг 2: Находим промежутки возрастания и убывания

Теперь ищем, на каких промежутках функция возрастает или убывает. Для этого анализируем знак производной $f'(x) = 3x^2 + 6x — 9$.

Промежутки изменения функции будут зависеть от того, где производная равна нулю. То есть находим корни уравнения:

$$3x^2 + 6x — 9 = 0$$

Для решения этого уравнения можно воспользоваться дискриминантом.

$$D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-9) = 36 + 108 = 144$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-6 — \sqrt{144}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 — 12}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$ $$x_2 = \frac{-6 + \sqrt{144}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 + 12}{6} = \frac{6}{6} = 1$$

Теперь у нас есть два корня $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Эти значения делят ось $x$ на три промежутка: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$, $(1, \infty)$.

Шаг 3: Анализируем знак производной на промежутках

Для определения знака производной на этих промежутках подставим тестовые значения из каждого интервала в производную.

1. Для промежутка $(-\infty, -3)$ возьмем $x = -4$:

   $$f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) — 9 = 3 \cdot 16 — 24 — 9 = 48 — 24 — 9 = 15 > 0$$

   Значит, на промежутке $(-\infty, -3)$ функция возрастает.

2. Для промежутка $(-3, 1)$ возьмем $x = 0$:

   $$f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) — 9 = -9 < 0$$

   Значит, на промежутке $(-3, 1)$ функция убывает.

3. Для промежутка $(1, \infty)$ возьмем $x = 2$:

   $$f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) — 9 = 3 \cdot 4 + 12 — 9 = 12 + 12 — 9 = 15 > 0$$

   Значит, на промежутке $(1, \infty)$ функция снова возрастает.

Шаг 4: Вывод о точках максимума и минимума

Поскольку функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3)$, затем убывает на промежутке $(-3, 1)$, и снова возрастает на промежутке $(1, \infty)$, можно сделать вывод:

• $x = -3$ — точка максимума.
• $x = 1$ — точка минимума.

Ответ для задачи 1:

$$x = -3 \quad \text{— точка максимума; }$$ $$x = 1 \quad \text{— точка минимума.}$$

2) $f(x) = x^4 — 2x^5 + 5$

Шаг 1: Находим производную функции

Используем правила дифференцирования:

$$f'(x) = (x^4)’ — 2(x^5)’ + (5)’$$ $$f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 5x^4 + 0 = 4x^3 — 10x^4$$

Теперь мы получили производную $f'(x) = 4x^3 — 10x^4$.

Шаг 2: Находим промежутки возрастания и убывания

Для поиска промежутков возрастания и убывания, приравниваем производную к нулю:

$$4x^3 — 10x^4 = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$2x^3(2 — 5x) = 0$$

У нас есть два множителя: $2x^3 = 0$ и $2 — 5x = 0$.

1. $2x^3 = 0$ даёт $x = 0$.
2. $2 — 5x = 0$ даёт $x = \frac{2}{5} = 0.4$.

Теперь у нас есть два критических значения $x_1 = 0$ и $x_2 = 0.4$. Эти значения делят ось $x$ на три промежутка: $(-\infty, 0)$, $(0, 0.4)$, $(0.4, \infty)$.

Шаг 3: Анализируем знак производной на промежутках

1. Для промежутка $(-\infty, 0)$ возьмем $x = -1$:

   $$f'(-1) = 4(-1)^3 — 10(-1)^4 = -4 — 10 = -14 < 0$$

   Значит, на промежутке $(-\infty, 0)$ функция убывает.

2. Для промежутка $(0, 0.4)$ возьмем $x = 0.2$:

   $$f'(0.2) = 4(0.2)^3 — 10(0.2)^4 = 4 \cdot 0.008 — 10 \cdot 0.0016 = 0.032 — 0.016 = 0.016 > 0$$

   Значит, на промежутке $(0, 0.4)$ функция возрастает.

3. Для промежутка $(0.4, \infty)$ возьмем $x = 1$:

   $$f'(1) = 4(1)^3 — 10(1)^4 = 4 — 10 = -6 < 0$$

   Значит, на промежутке $(0.4, \infty)$ функция убывает.

Шаг 4: Вывод о точках максимума и минимума

Поскольку функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$, затем возрастает на промежутке $(0, 0.4)$, и снова убывает на промежутке $(0.4, \infty)$, можно сделать вывод:

• $x = 0$ — точка минимума.
• $x = 0.4$ — точка максимума.

Ответ для задачи 2:

$$x = 0.4 \quad \text{— точка максимума; }$$ $$x = 0 \quad \text{— точка минимума.}$$