ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1378 Алимов — Подробные Ответы

1. 4 sin2 x — 8 sin x cos x + 10 cos2 x = 3;
2. 3 sin2 x — 2 sin x cos x = 1.

1)

$$4 \sin^2 x — 8 \sin x \cdot \cos x + 10 \cos^2 x = 3;$$ $$4 \sin^2 x — 3 \sin^2 x — 3 \cos^2 x — 8 \sin x \cdot \cos x + 10 \cos^2 x = 0;$$ $$\sin^2 x — 8 \sin x \cdot \cos x + 7 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$tg^2 x — 8 tg x + 7 = 0;$$

Пусть $y = tg x$, тогда:

$$y^2 — 8y + 7 = 0;$$ $$D = 8^2 — 4 \cdot 7 = 64 — 28 = 36, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7;$$

Первое уравнение:

$$tg x = 1;$$ $$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$tg x = 7;$$ $$x = \arctg 7 + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg 7 + \pi n.$

2)

$$3 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 1;$$ $$3 \sin^2 x — \cos^2 x — \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$2 tg^2 x — 2 tg x — 1 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 = 4 \cdot 3, \text{тогда:}$$ $$tg x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2};$$ $$x = \arctg \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\mathrm{arctg}\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\pi \mathrm{n, }$$\arctg \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + \pi n.$

Решение 1)

Дано уравнение:

$4 \sin^2 x — 8 \sin x \cdot \cos x + 10 \cos^2 x = 3.$

Перепишем уравнение:

$$4 \sin^2 x — 8 \sin x \cdot \cos x + 10 \cos^2 x = 3$$

Перепишем его в виде:

$$4 \sin^2 x + 10 \cos^2 x — 8 \sin x \cos x = 3$$

Заменим $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ через $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$4 \sin^2 x + 10 \cos^2 x — 8 \sin x \cos x = 3$$

Преобразуем это:

$$4 \sin^2 x — 3 \sin^2 x — 3 \cos^2 x + 10 \cos^2 x — 8 \sin x \cos x = 0$$ $$\sin^2 x — 8 \sin x \cos x + 7 \cos^2 x = 0.$$

Разделим на $\cos^2 x$:

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} — 8 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + 7 = 0$$

Используем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, тогда:

$$\tan^2 x — 8 \tan x + 7 = 0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $y = \tan x$:

$$y^2 — 8y + 7 = 0.$$

Для нахождения корней уравнения найдем дискриминант:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 — 28 = 36.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{8 — 6}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{8 + 6}{2} = 7.$$

Теперь найдем значения $x$:

Для $y_1 = 1$, получаем $\tan x = 1$. Тогда:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Для $y_2 = 7$, получаем $\tan x = 7$. Тогда:

$$x = \arctg 7 + \pi n.$$

Ответ для первой задачи:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad x = \arctg 7 + \pi n.$$

Решение 2)

Дано уравнение:

$3 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 1.$

Перепишем уравнение:

$$3 \sin^2 x — 2 \sin x \cos x = 1$$

Преобразуем это:

$$3 \sin^2 x — \cos^2 x — \sin^2 x — 2 \sin x \cos x = 0$$ $$2 \sin^2 x — 2 \sin x \cos x — \cos^2 x = 0.$$

Разделим на $\cos^2 x$:

$$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} — 2 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} — 1 = 0$$

Используем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, тогда:

$$2 \tan^2 x — 2 \tan x — 1 = 0.$$

Решим квадратное уравнение относительно $y = \tan x$:

$$2y^2 — 2y — 1 = 0.$$

Для нахождения корней уравнения найдем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12.$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}.$$

Теперь найдем значения $x$:

$$x = \arctg \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \pi n.$$

Ответ для второй задачи:

$$x = \arctg \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} + \pi n.$$