ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1377 Алимов — Подробные Ответы

1. sin3 x cos x + cos3 x sin x = cos 2x;
2. 2 + cos2 x + 3 sin x cos x = sin2 x.

1)

$$\sin^3 x \cdot \cos x + \cos^3 x \cdot \sin x = \cos 2x;$$ $$\sin x \cdot \cos x \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) = \cos^2 x — \sin^2 x;$$ $$\sin x \cdot \cos x \cdot 1 — \cos^2 x + \sin^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\tg x — 1 + \tg^2 x = 0;$$ $$\tg^2 x + \tg x — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 = 1 + 4 = 5, \text{тогда:}$$ $$\tg x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2};$$ $$x = \arctg \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\arctg \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \pi n$.

2)

$$2 + \cos^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x;$$ $$2 \cos^2 x + 2 \sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$3 \cos^2 x + \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$3 + \tg^2 x + 3 \tg x = 0;$$ $$\tg^2 x + 3 \tg x + 3 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3;$$ $$D < 0, \text{значит корней нет;}$$

Ответ: решений нет.

1. Задача 1

Дано уравнение:

$$\sin^3 x \cdot \cos x + \cos^3 x \cdot \sin x = \cos 2x$$

Шаг 1: Преобразование левой части

Обратите внимание, что выражение на левой стороне можно упростить, заметив, что оно имеет вид, напоминающий формулу для произведения кубов:

$$\sin^3 x \cdot \cos x + \cos^3 x \cdot \sin x = \sin x \cdot \cos x \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x)$$

Используем тот факт, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ (тригонометрическая тождественность):

$$\sin x \cdot \cos x \cdot 1 = \sin x \cdot \cos x$$

Таким образом, левую часть можно упростить до:

$$\sin x \cdot \cos x$$

Шаг 2: Преобразование правой части

Правая часть уравнения — это $\cos 2x$. Из известного тригонометрического тождества:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Таким образом, уравнение преобразуется в:

$$\sin x \cdot \cos x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Шаг 3: Деление на $\cos^2 x$

Для упрощения, делим обе стороны уравнения на $\cos^2 x$ (при этом $\cos x \neq 0$):

$$\frac{\sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x — \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

Получаем:

$$\tan x = 1 — \tan^2 x$$

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Теперь перенесем все члены в одну сторону:

$$\tan^2 x + \tan x — 1 = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $\tan x$.

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

Таким образом, корни уравнения:

$$\tan x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Берем положительное решение:

$$\tan x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$$

Шаг 6: Общий вид решения

Общее решение для $x$ в этом случае:

$$x = \arctan \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $x = \arctan \left( \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right) + \pi n$.

2. Задача 2

Дано уравнение:

$$2 + \cos^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Переносим все члены на одну сторону:

$$2 + \cos^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x — \sin^2 x = 0$$

Теперь группируем члены:

$$(2 + \cos^2 x — \sin^2 x) + 3 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Используем тригонометрические тождества. Напоминаем, что $\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$. Таким образом, уравнение примет вид:

$$2 + \cos 2x + 3 \sin x \cdot \cos x = 0$$

Шаг 2: Замена на тангенс

Используем стандартную формулу $\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$, и подставляем в уравнение:

$$2 + \cos 2x + \frac{3}{2} \sin 2x = 0$$

Умножим все на 2 для удобства:

$$4 + 2 \cos 2x + 3 \sin 2x = 0$$

Шаг 3: Преобразование уравнения

Это уравнение вида:

$$2 \cos 2x + 3 \sin 2x = -4$$

Попробуем решить его через метод приведения к одной функции. Для этого используем общее представление вида $R \cos (2x — \alpha)$:

$$2 \cos 2x + 3 \sin 2x = R \cos(2x — \alpha)$$

Решим для $R$ и $\alpha$:

$$R = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ $$\tan \alpha = \frac{3}{2}$$ $$\alpha = \arctan \frac{3}{2}$$

Теперь уравнение принимает вид:

$$\sqrt{13} \cos(2x — \alpha) = -4$$

Шаг 4: Вычисление решения

Так как правая часть уравнения больше, чем амплитуда левой стороны ($\sqrt{13} \approx 3.61$, а $-4$ — это невозможно для косинуса), то уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.