ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1313 Алимов — Подробные Ответы

1. 1+sina=2cos2(пи/4 — a/2);
2. 1-sina=2sin2(пи/4 — a/2).

$1 + \sin a = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right);$

Преобразуем правую часть тождества:

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 2 \cos^2 \frac{\frac{\pi}{2} — a}{2} = 2 \cdot \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)}{2} = 1 + \sin a;$$

Тождество доказано.

$1 — \sin a = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right);$

Преобразуем правую часть тождества:

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 2 \cdot \sin^2 \frac{\frac{\pi}{2} — a}{2} = 2 \cdot \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)}{2} = 1 — \sin a;$$

Тождество доказано.

$1 + \sin a = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right);$

Шаг 1. Преобразуем правую часть тождества

Нам нужно преобразовать выражение $2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right)$. Для этого используем известную тригонометрическую формулу:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

Применим эту формулу к аргументу $x = \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}$. Тогда:

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1 + \cos \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) \right)}{2}$$

Упростим выражение в косинусе:

$$2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{2} — a$$

Таким образом, получаем:

$$\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)}{2}$$

Теперь умножим обе части на 2:

$$2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 2. Используем формулы приведения

Для того чтобы упростить выражение $\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$, применим формулу приведения для косинуса:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \sin a$$

Таким образом, имеем:

$$1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = 1 + \sin a$$

Шаг 3. Завершаем доказательство

Теперь мы видим, что правая часть равенства $2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right)$ равна $1 + \sin a$, что точно совпадает с левой частью нашего тождества.

Таким образом, мы доказали, что:

$$1 + \sin a = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right)$$

$1 — \sin a = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right);$

Шаг 1. Преобразуем правую часть тождества

Нам нужно преобразовать выражение $2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right)$. Для этого воспользуемся аналогичной тригонометрической формулой, но для синуса:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos(2x)}{2}$$

Применим эту формулу к аргументу $x = \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2}$. Тогда:

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1 — \cos \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) \right)}{2}$$

Упростим выражение в косинусе:

$$2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{\pi}{2} — a$$

Таким образом:

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = \frac{1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)}{2}$$

Теперь умножим обе части на 2:

$$2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right) = 1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$$

Шаг 2. Используем формулы приведения

Для того чтобы упростить выражение $\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right)$, применим формулу приведения для косинуса:

$$\cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = \sin a$$

Таким образом, имеем:

$$1 — \cos \left( \frac{\pi}{2} — a \right) = 1 — \sin a$$

Шаг 3. Завершаем доказательство

Теперь мы видим, что правая часть равенства $2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right)$ равна $1 — \sin a$, что точно совпадает с левой частью нашего тождества.

Таким образом, мы доказали, что:

$$1 — \sin a = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — \frac{a}{2} \right)$$

Тождество доказано.