ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1263 Алимов — Подробные Ответы

Имеют ли общие точки промежутки:

1. [1; 3 корень 2+2 корень 7] и [3 корень 3 + 4; 15];
2. (0; корень 27 + корень 6) и ( корень 48-1; 10);
3. [2; 2 корень 5 + 2 корень 6] и (3 корень 2 + корень 22; 11);
4. [1; 1 + корень 3] и (2/((корень 3) — 1); 4)?

Имеют ли общие точки промежутки:

$[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15]$;

Правая граница первого промежутка:

$$3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} = \sqrt{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{7})^2} = \sqrt{18 + 12\sqrt{14} + 28} = \sqrt{46 + \sqrt{2016}};$$ $$1936 < \sqrt{2016} < 2025;$$ $$44 < \sqrt{2016} < 45;$$ $$90 < \sqrt{2016} + 46 < 91;$$

Левая граница второго промежутка:

$$3\sqrt{3} + 4 = \sqrt{(3\sqrt{3} + 4)^2} = \sqrt{27 + 24\sqrt{3} + 16} = \sqrt{43 + \sqrt{1728}};$$ $$1681 < 1728 < 1764;$$ $$41 < \sqrt{1728} < 42;$$ $$84 < \sqrt{1728} + 43 < 85;$$

Ответ: имеют.

$(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} — 1; 10)$;

Правая граница первого промежутка:

$$\sqrt{27} + \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{27} + \sqrt{6})^2} = \sqrt{27 + 2\sqrt{162}} = \sqrt{27 + \sqrt{648}};$$ $$625 < 648 < 676;$$ $$25 < \sqrt{648} < 26;$$ $$52 < \sqrt{648} + 27 < 53;$$

Левая граница второго промежутка:

$$\sqrt{48} — 1 = \sqrt{(\sqrt{48} — 1)^2} = \sqrt{48 — 2\sqrt{48} + 1} = \sqrt{49 — \sqrt{192}};$$ $$169 < 192 < 196;$$ $$13 < \sqrt{192} < 14;$$ $$-14 < -\sqrt{192} < -13;$$ $$35 < 49 — \sqrt{192} < 36;$$

Ответ: имеют.

$[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11)$;

Правая граница первого промежутка:

$$2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} = \sqrt{(2\sqrt{5} + 2\sqrt{6})^2} = \sqrt{20 + 8\sqrt{30} + 24} = \sqrt{44 + \sqrt{1920}};$$ $$1849 < 1920 < 1936;$$ $$43 < \sqrt{1920} < 44;$$ $$87 < \sqrt{1920} + 44 < 88;$$

Левая граница второго промежутка:

$$3\sqrt{2} + \sqrt{22} = \sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{22})^2} = \sqrt{18 + 6\sqrt{44} + 22} = \sqrt{40 + \sqrt{1584}};$$ $$1521 < 1584 < 1600;$$ $$39 < \sqrt{1584} < 40;$$ $$79 < \sqrt{1584} + 40 < 80;$$

Ответ: имеют.

$[2; 1 + \sqrt{3}]$ и $\left(\frac{2}{\sqrt{3} — 1}; 11\right)$;

Левая граница второго промежутка:

$$\frac{2}{\sqrt{3} — 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 — 1} = \sqrt{3} + 1;$$

Ответ: не имеют.

1) Промежутки: $[1; 3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}]$ и $[3\sqrt{3} + 4; 15]$

Правая граница первого промежутка: $3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$

Найдем приближенное значение правой границы первого промежутка $3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$.

• $\sqrt{2} \approx 1.414$
• $\sqrt{7} \approx 2.646$

Таким образом:

$$3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242, \quad 2\sqrt{7} \approx 2 \times 2.646 = 5.292$$

Тогда:

$$3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} \approx 4.242 + 5.292 = 9.534$$

Проверим, что правая граница первого промежутка точно расположена между 90 и 91:

$$3\sqrt{2} + 2\sqrt{7} = \sqrt{(3\sqrt{2} + 2\sqrt{7})^2} = \sqrt{18 + 12\sqrt{14} + 28} = \sqrt{46 + \sqrt{2016}}$$

Оценим:

$$1936 < \sqrt{2016} < 2025 \quad \Rightarrow \quad 44 < \sqrt{2016} < 45$$

Тогда:

$$90 < \sqrt{2016} + 46 < 91$$

Таким образом, правая граница первого промежутка расположена между 90 и 91, как и ожидалось.

Левая граница второго промежутка: $3\sqrt{3} + 4$

Для вычисления левой границы второго промежутка $3\sqrt{3} + 4$ найдем приближенные значения:

• $\sqrt{3} \approx 1.732$

Тогда:

$$3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196, \quad 3\sqrt{3} + 4 \approx 5.196 + 4 = 9.196$$

Проверим, что левая граница второго промежутка точно расположена между 84 и 85:

$$3\sqrt{3} + 4 = \sqrt{(3\sqrt{3} + 4)^2} = \sqrt{27 + 24\sqrt{3} + 16} = \sqrt{43 + \sqrt{1728}}$$

Оценим:

$$1681 < 1728 < 1764 \quad \Rightarrow \quad 41 < \sqrt{1728} < 42$$

Тогда:

$$84 < \sqrt{1728} + 43 < 85$$

Таким образом, левая граница второго промежутка расположена между 84 и 85.

Ответ: Промежутки имеют общие точки, так как правая граница первого промежутка (9.534) меньше левой границы второго промежутка (9.196).

2) Промежутки: $(0; \sqrt{27} + \sqrt{6})$ и $(\sqrt{48} — 1; 10)$

Правая граница первого промежутка: $\sqrt{27} + \sqrt{6}$

Для вычисления правой границы первого промежутка $\sqrt{27} + \sqrt{6}$:

• $\sqrt{27} \approx 5.196$
• $\sqrt{6} \approx 2.449$

Тогда:

$$\sqrt{27} + \sqrt{6} \approx 5.196 + 2.449 = 7.645$$

Проверим точнее:

$$\sqrt{27} + \sqrt{6} = \sqrt{(\sqrt{27} + \sqrt{6})^2} = \sqrt{27 + 2\sqrt{162}} = \sqrt{27 + \sqrt{648}}$$

Оценим:

$$625 < 648 < 676 \quad \Rightarrow \quad 25 < \sqrt{648} < 26$$

Тогда:

$$52 < \sqrt{648} + 27 < 53$$

Таким образом, правая граница первого промежутка расположена между 52 и 53.

Левая граница второго промежутка: $\sqrt{48} — 1$

Для вычисления левой границы второго промежутка $\sqrt{48} — 1$:

• $\sqrt{48} \approx 6.928$

Тогда:

$$\sqrt{48} — 1 \approx 6.928 — 1 = 5.928$$

Проверим точнее:

$$\sqrt{48} — 1 = \sqrt{(\sqrt{48} — 1)^2} = \sqrt{48 — 2\sqrt{48} + 1} = \sqrt{49 — \sqrt{192}}$$

Оценим:

$$169 < 192 < 196 \quad \Rightarrow \quad 13 < \sqrt{192} < 14$$

Тогда:

$$35 < 49 — \sqrt{192} < 36$$

Таким образом, левая граница второго промежутка расположена между 35 и 36.

Ответ: Промежутки имеют общие точки, так как правая граница первого промежутка (7.645) меньше левой границы второго промежутка (5.928).

3) Промежутки: $[2; 2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}]$ и $(3\sqrt{2} + \sqrt{22}; 11)$

Правая граница первого промежутка: $2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$

Для вычисления правой границы первого промежутка $2\sqrt{5} + 2\sqrt{6}$:

• $\sqrt{5} \approx 2.236$
• $\sqrt{6} \approx 2.449$

Тогда:

$$2\sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472, \quad 2\sqrt{6} \approx 2 \times 2.449 = 4.898$$

Тогда:

$$2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} \approx 4.472 + 4.898 = 9.37$$

Проверим точнее:

$$2\sqrt{5} + 2\sqrt{6} = \sqrt{(2\sqrt{5} + 2\sqrt{6})^2} = \sqrt{20 + 8\sqrt{30} + 24} = \sqrt{44 + \sqrt{1920}}$$

Оценим:

$$1849 < 1920 < 1936 \quad \Rightarrow \quad 43 < \sqrt{1920} < 44$$

Тогда:

$$87 < \sqrt{1920} + 44 < 88$$

Левая граница второго промежутка: $3\sqrt{2} + \sqrt{22}$

Для вычисления левой границы второго промежутка $3\sqrt{2} + \sqrt{22}$:

• $\sqrt{2} \approx 1.414$
• $\sqrt{22} \approx 4.690$

Тогда:

$$3\sqrt{2} \approx 3 \times 1.414 = 4.242, \quad 3\sqrt{2} + \sqrt{22} \approx 4.242 + 4.690 = 8.932$$

Проверим точнее:

$$3\sqrt{2} + \sqrt{22} = \sqrt{(3\sqrt{2} + \sqrt{22})^2} = \sqrt{18 + 6\sqrt{44} + 22} = \sqrt{40 + \sqrt{1584}}$$

Оценим:

$$1521 < 1584 < 1600 \quad \Rightarrow \quad 39 < \sqrt{1584} < 40$$

Тогда:

$$79 < \sqrt{1584} + 40 < 80$$

Ответ: Промежутки имеют общие точки, так как правая граница первого промежутка (9.37) меньше левой границы второго промежутка (8.932).

4) Промежутки: $[2; 1 + \sqrt{3}]$ и $\left(\frac{2}{\sqrt{3} — 1}; 11\right)$

Левая граница второго промежутка: $\frac{2}{\sqrt{3} — 1}$

Упростим выражение для левой границы второго промежутка:

$$\frac{2}{\sqrt{3} — 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} — 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 — 1} = \sqrt{3} + 1$$

Ответ: Промежутки не имеют общих точек, так как левая граница второго промежутка равна $\sqrt{3} + 1$, что больше правой границы первого промежутка.

Итог:

1. Промежутки имеют общие точки.
2. Промежутки имеют общие точки.
3. Промежутки имеют общие точки.
4. Промежутки не имеют общих точек.