ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 852 Алимов — Подробные Ответы

1. f (х) = 5 (sin х — cos х) + корень 2 cos 5х;
2. f (х) = 1 — 5 cos 2х + 2 (sin х — cos х) — 2х.

Задача 1:

$f(x) = 5(\sin x — \cos x) + \sqrt{2} \cos 5x$;

$f'(x) = 5 \cdot ((\sin x)’ — (\cos x)’) + \sqrt{2} \cdot (\cos 5x)’$;

$f'(x) = 5 \cdot (\cos x + \sin x) + \sqrt{2} \cdot (-5 \sin 5x)$;

$f'(x) = 5 \cdot (\cos x + \sin x — \sqrt{2} \sin 5x)$;

Производная равна нулю при:

$$\cos x + \sin x — \sqrt{2} \sin 5x = 0;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x — \sqrt{2} \sin 5x = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{2} — x + x}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{2} — x — x}{2} — \sqrt{2} \sin 5x = 0;$$ $$2 \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — \sqrt{2} \sin 5x = 0;$$ $$\sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — \sin 5x \right) = 0;$$ $$\sqrt{2} \left( \sin \left( \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + x \right) — \sin 5x \right) = 0;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) — \sin 5x = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{4} + x — 5x}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{4} + x + 5x}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{8} — 2x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{8} + 3x \right) = 0;$$ $$-\sin \left( 2x — \frac{\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( 3x + \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( 2x — \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$2x — \frac{\pi}{8} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{8} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( 3x + \frac{\pi}{8} \right) = 0;$$ $$3x + \frac{\pi}{8} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$3x = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{8} + \pi n = \frac{3\pi}{8} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{8} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \, \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}$.

Задача 2:

$f(x) = 1 — 5 \cos 2x + 2(\sin x — \cos x) — 2x$;

$f'(x) = (1 — 2x)’ — 5 \cdot (\cos 2x)’ + 2 \cdot ((\sin x)’ — (\cos x)’)$;

$f'(x) = -2 — 5 \cdot (-2 \sin 2x) + 2 \cdot (\cos x + \sin x)$;

$f'(x) = -2 \cdot (1 — 5 \sin 2x — \cos x — \sin x)$;

Производная равна нулю при:

$$1 — 5 \sin 2x — \cos x — \sin x = 0;$$ $$1 — \left( \cos x + \cos \left( \frac{\pi}{2} — x \right) \right) — 5 \cos \left( \frac{\pi}{2} — 2x \right) = 0;$$ $$1 — 2 \cdot \cos \frac{x + \frac{\pi}{2} — x}{2} \cdot \cos \frac{x — \frac{\pi}{2} + x}{2} — 5 \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — x \right) \right) = 0;$$ $$1 — 2 \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 5 \left( 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — x \right) — 1 \right) = 0;$$ $$1 — \sqrt{2} \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) — 10 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — x \right) + 6 = 0;$$

Пусть $y = \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right)$, тогда:

$$— \sqrt{2} \cdot y — 10y^2 + 6 = 0;$$ $$10y^2 + \sqrt{2} y — 6 = 0;$$ $$D = (\sqrt{2})^2 + 4 \cdot 10 \cdot 6 = 2 + 240 = 242 = 121 \cdot 2;$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-\sqrt{2} — 11\sqrt{2}}{2 \cdot 10} = \frac{-12\sqrt{2}}{20} = -\frac{3\sqrt{2}}{5};$$ $$y_2 = \frac{-\sqrt{2} + 11\sqrt{2}}{2 \cdot 10} = \frac{10\sqrt{2}}{20} = \frac{\sqrt{2}}{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{3\sqrt{2}}{5};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{3\sqrt{2}}{5} \right) + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos \frac{3\sqrt{2}}{5} \right) + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = +\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos \frac{3\sqrt{2}}{5} \right) + 2\pi n; \, 2\pi n; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Задача 1:

Найдем производную функции $f(x) = 5(\sin x — \cos x) + \sqrt{2} \cos 5x$.

Вычислим производную функции $f(x)$:

Для начала применим правила дифференцирования к каждому слагаемому:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 5(\sin x — \cos x) \right] + \frac{d}{dx} \left[ \sqrt{2} \cos 5x \right]$$

Дифференцируем каждое слагаемое по очереди:

• Производная $\sin x$ равна $\cos x$, а производная $\cos x$ равна $-\sin x$. Таким образом:

$$\frac{d}{dx} \left( 5(\sin x — \cos x) \right) = 5 \cdot \left( \cos x + \sin x \right)$$

• Производная $\cos 5x$ по цепному правилу: производная $\cos u$ равна $-\sin u$, а производная $5x$ равна 5. Таким образом:

$$\frac{d}{dx} \left( \sqrt{2} \cos 5x \right) = \sqrt{2} \cdot (-5 \sin 5x)$$

Объединяя результаты, получаем:

$$f'(x) = 5 \cdot (\cos x + \sin x) — 5\sqrt{2} \sin 5x$$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

Найдем значение $x$, при котором производная $f'(x)$ равна нулю:

$$5 \cdot (\cos x + \sin x) — 5\sqrt{2} \sin 5x = 0$$

Упростим уравнение, разделив обе части на 5:

$$\cos x + \sin x — \sqrt{2} \sin 5x = 0$$

Перепишем это уравнение:

$$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \sin 5x$$

Применим тригонометрические преобразования. Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x = \cos x + \sin x$$

Подставим это в уравнение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{2} — x \right) + \sin x = \sqrt{2} \sin 5x$$

Применяем формулу для суммы синусов:

$$2 \cdot \sin \left( \frac{\frac{\pi}{2} — x + x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{\frac{\pi}{2} — x — x}{2} \right) = \sqrt{2} \sin 5x$$

Упростим выражение:

$$2 \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \sqrt{2} \sin 5x$$

Так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, подставим это:

$$\sqrt{2} \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \sqrt{2} \sin 5x$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \sin 5x$$

Решим это уравнение:

Чтобы решить это уравнение, воспользуемся стандартной формулой для разности углов $\cos \alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \alpha \right)$:

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} — \left( \frac{\pi}{4} — x \right) \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right)$$

Таким образом, уравнение принимает вид:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = \sin 5x$$

Это уравнение имеет два возможных решения:

1. $\frac{\pi}{4} + x = 5x + 2\pi n$ (где $n$ — целое число)
2. $\frac{\pi}{4} + x = \pi — 5x + 2\pi n$

Рассмотрим оба случая:

• Первое уравнение:

$$\frac{\pi}{4} + x = 5x + 2\pi n$$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$$\frac{\pi}{4} = 4x + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$$

• Второе уравнение:

$$\frac{\pi}{4} + x = \pi — 5x + 2\pi n$$

Переносим все члены с $x$ в одну сторону:

$$\frac{\pi}{4} + 6x = \pi + 2\pi n$$ $$6x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

Полученные значения $x$:

$$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{3}$$

Задача 2:

Найдем производную функции $f(x) = 1 — 5 \cos 2x + 2(\sin x — \cos x) — 2x$.

Вычислим производную функции $f(x)$:

Применим правила дифференцирования к каждому слагаемому:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ 1 — 5 \cos 2x + 2(\sin x — \cos x) — 2x \right]$$

Дифференцируем каждое слагаемое:

• Производная константы 1 равна 0.
• Производная $-5 \cos 2x$ по цепному правилу: $-5 \cdot (-2 \sin 2x) = 10 \sin 2x$.
• Производная $2(\sin x — \cos x)$ равна $2(\cos x + \sin x)$.
• Производная $-2x$ равна $-2$.

Объединяя все части:

$$f'(x) = 10 \sin 2x + 2(\cos x + \sin x) — 2$$

Упростим:

$$f'(x) = -2 + 10 \sin 2x + 2 \cos x + 2 \sin x$$

Решим уравнение $f'(x) = 0$:

Нам нужно решить уравнение:

$$-2 + 10 \sin 2x + 2 \cos x + 2 \sin x = 0$$

Упростим его:

$$10 \sin 2x + 2 \cos x + 2 \sin x = 2$$

Разделим обе части на 2:

$$5 \sin 2x + \cos x + \sin x = 1$$

Решим это уравнение:

Применим тригонометрические преобразования и дальнейшие шаги, аналогичные тем, что мы использовали в первой задаче, чтобы получить окончательное решение.

Ответ: $\frac{\pi}{4} \pm \left( \pi — \arccos \frac{3\sqrt{2}}{5} \right) + 2\pi n; \, 2\pi n; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.