ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1247 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/16 (корень 5 степени 64);
2. log8log4log2(16).

1. $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64} = \log_{2^{-4}} (2^6)^{\frac{1}{5}} = \log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}} = \log_{2^{-4}} (2^{-4})^{-\frac{6}{20}} = -\frac{6}{20} = -0.3$;
2. $\log_8 \log_4 \log_2 16 = \log_8 \log_4 \log_2 2^4 = \log_8 \log_4 4 = \log_8 1 = \log_8 8^0 = 0$

Пример 1: $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$

Наша задача — вычислить логарифм $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64}$.

Шаг 1: Представление числа в удобном виде

Начнем с того, что $\frac{1}{16}$ и $64$ можно представить как степени числа 2:

$$\frac{1}{16} = 2^{-4}, \quad 64 = 2^6$$

Теперь перепишем логарифм:

$$\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64} = \log_{2^{-4}} \sqrt[5]{2^6}$$

Шаг 2: Преобразование корня в степень

Теперь возьмем пятый корень из 64. Мы можем записать его как степень:

$$\sqrt[5]{64} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}}$$

Таким образом, наш логарифм преобразуется в:

$$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}}$$

Шаг 3: Использование свойства логарифмов

Теперь применим свойство логарифмов:

$$\log_a b^k = k \cdot \log_a b$$

В нашем случае это свойство применимо, так как $b = 2$, а $k = \frac{6}{5}$. Получаем:

$$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \log_{2^{-4}} 2$$

Шаг 4: Вычисление $\log_{2^{-4}} 2$

Теперь нам нужно вычислить $\log_{2^{-4}} 2$. Для этого используем формулу:

$$\log_{a} b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Где $c$ — это основание логарифма, которое может быть любым, но проще всего взять основание 2. Таким образом:

$$\log_{2^{-4}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 2^{-4}}$$

Мы знаем, что $\log_2 2 = 1$, и $\log_2 2^{-4} = -4$, так как $\log_2 2^k = k$. Следовательно:

$$\log_{2^{-4}} 2 = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$$

Шаг 5: Завершающий расчет

Теперь подставляем результат в наш предыдущий шаг:

$$\log_{2^{-4}} 2^{\frac{6}{5}} = \frac{6}{5} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -\frac{6}{20} = -0.3$$

Итак, решение для первого примера:

$$\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64} = -0.3$$

Пример 2: $\log_8 \log_4 \log_2 16$

Теперь разберем второй пример — вычислим $\log_8 \log_4 \log_2 16$.

Шаг 1: Внутренний логарифм $\log_2 16$

Начнем с самого внутреннего логарифма — $\log_2 16$. Мы знаем, что $16 = 2^4$, следовательно:

$$\log_2 16 = 4$$

Теперь перепишем наш логарифм:

$$\log_8 \log_4 \log_2 16 = \log_8 \log_4 4$$

Шаг 2: Логарифм $\log_4 4$

Теперь вычислим $\log_4 4$. Поскольку $4 = 4^1$, мы получаем:

$$\log_4 4 = 1$$

Подставляем это в выражение:

$$\log_8 \log_4 4 = \log_8 1$$

Шаг 3: Логарифм $\log_8 1$

Теперь нам нужно вычислить $\log_8 1$. Мы знаем, что для любого основания $a$ логарифм числа 1 равен 0, то есть:

$$\log_a 1 = 0$$

Таким образом:

$$\log_8 1 = 0$$

Шаг 4: Ответ

Итак, ответ для второго примера:

$$\log_8 \log_4 \log_2 16 = 0$$

Итоги:

1. $\log_{\frac{1}{16}} \sqrt[5]{64} = -0.3$
2. $\log_8 \log_4 \log_2 16 = 0$