ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 719 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. у = |cos х|;
2. у = 3 — 2 cos (х — 1).

1) $y = |\cos x|$;

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \cos x \leq 1;$$ $$0 \leq |\cos x| \leq 1;$$ $$E(y) = [0; 1];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$|\cos(x + T)| = |\cos x|;$$ $$\begin{cases} \cos(x + T) = \cos x \\ \cos(x + T) = -\cos x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T = 2\pi \\ \cos(x + T) = \cos(x + \pi) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} T = 2\pi \\ T = \pi \end{cases};$$ $$T = \pi;$$

г) Функция четная:

$$y(-x) = |\cos(-x)| = |\cos x| = y(x);$$

д) Нули функции:

$$|\cos x| = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

е) Максимальные значения:

$$|\cos x| = 1;$$ $$\cos x = \pm 1;$$ $$x_1 = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x = \pi;$$

ж) Минимальные значения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

2) $y = 3 — 2\cos(x — 1)$;

а) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty);$$

б) Область значений:

$$-1 \leq \cos(x — 1) \leq 1;$$ $$-2 \leq -2\cos(x — 1) \leq 2;$$ $$1 \leq 3 — 2\cos(x — 1) \leq 5;$$ $$E(y) = [1; 5];$$

в) Период функции:

$$y(x + T) = y(x);$$ $$3 — 2\cos(x + T — 1) = 3 — 2\cos x;$$ $$T — 1 = 2\pi;$$ $$T = 2\pi + 1;$$

г) Функция ни четная, ни нечетная:

$$y(-x) = 3 — 2\cos(-x — 1) = 3 — 2\cos(x + 1);$$

д) Нули функции:

$$3 — 2\cos(x — 1) = 0 \quad \text{— нет корней};$$

е) Максимальные значения:

$$3 — 2\cos(x — 1) = 5;$$ $$-2\cos(x — 1) = 2;$$ $$\cos(x — 1) = -1;$$ $$x — 1 = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \pi + 1 + 2\pi n;$$

ж) Минимальные значения:

$$3 — 2\cos(x — 1) = 1;$$ $$-2\cos(x — 1) = -2;$$ $$\cos(x — 1) = 1;$$ $$x — 1 = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x=1+2\pi n$$

1) $y = |\cos x|$

а) Область определения $D(x)$

Область определения функции — это все значения $x$, для которых функция имеет смысл.

Функция $\cos x$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty, +\infty)$.

Абсолютное значение $|\cos x|$ также определено везде, где определен $\cos x$.

Вывод:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Область значений $E(y)$

Значения функции $\cos x$ лежат в интервале:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

Поскольку мы берем абсолютное значение, отрицательные значения превращаются в положительные:

$$|\cos x| \geq 0$$

Максимум по модулю равен 1 (т.е. $\max |\cos x| = 1$).

Вывод:

$$0 \leq |\cos x| \leq 1$$

То есть

$$E(y) = [0; 1]$$

в) Период функции

Периодом функции называется минимальное положительное число $T$, при котором функция повторяется:

$$y(x + T) = y(x)$$

Для $y = |\cos x|$ это значит:

$$|\cos(x + T)| = |\cos x|$$

Рассмотрим условия, при которых это возможно:

1. $\cos(x + T) = \cos x$
   По свойствам косинуса период равен $2\pi$, то есть

   $$T = 2\pi$$

2. $\cos(x + T) = -\cos x$
   Это значит, что аргумент сдвинут на $\pi$, поскольку:

   $$\cos(x + \pi) = -\cos x$$

Значит возможный период — либо $2\pi$, либо $\pi$.

Проверим, что $T = \pi$ — действительно период, так как

$$|\cos(x + \pi)| = |-\cos x| = |\cos x|$$

Вывод:

$$T = \pi$$

г) Четность функции

Функция называется четной, если:

$$y(-x) = y(x)$$

Посчитаем:

$$y(-x) = |\cos(-x)| = |\cos x| = y(x)$$

Поскольку косинус — четная функция, абсолютное значение от косинуса тоже четная.

Вывод: функция $y = |\cos x|$ — четная.

д) Нули функции

Нули — значения $x$, при которых $y = 0$:

$$|\cos x| = 0 \implies \cos x = 0$$

Решим уравнение $\cos x = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Пояснение: косинус равен нулю в точках $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \ldots$ и симметрично в отрицательную сторону.

е) Максимальные значения

Максимум функции достигается, когда

$$|\cos x| = 1$$

Так как $\cos x = \pm 1$, то:

• $\cos x = 1$ в точках $x = 2\pi n$
• $\cos x = -1$ в точках $x = \pi + 2\pi n$

где $n \in \mathbb{Z}$.

ж) Минимальные значения

Минимальное значение функции $y = |\cos x|$ — это 0, и оно достигается в нулях функции:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

2) $y = 3 — 2 \cos(x — 1)$

а) Область определения $D(x)$

Функция $\cos(x-1)$ определена для всех $x$, так как сдвиг аргумента не влияет на область определения.

Конечное выражение $3 — 2\cos(x — 1)$ определено всюду.

Вывод:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Область значений $E(y)$

Для косинуса:

$$-1 \leq \cos(x — 1) \leq 1$$

Домножаем на $-2$:

$$-2 \leq -2 \cos(x — 1) \leq 2$$

Добавляем 3:

$$1 \leq 3 — 2 \cos(x — 1) \leq 5$$

Вывод:

$$E(y) = [1; 5]$$

в) Период функции

Функция периодическая, так как $\cos$ — периодическая с периодом $2\pi$.

Проверим условие периода $T$:

$$y(x + T) = y(x)$$

Подставим:

$$3 — 2\cos(x + T — 1) = 3 — 2\cos(x — 1)$$

Откуда:

$$\cos(x + T — 1) = \cos(x — 1)$$

Период косинуса равен $2\pi$, значит:

$$T — 1 = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Минимальный положительный период:

$$T = 2\pi + 1$$

г) Четность функции

Проверим четность:

$$y(-x) = 3 — 2 \cos(-x — 1) = 3 — 2 \cos(-(x + 1))$$

Поскольку $\cos$ — четная:

$$= 3 — 2 \cos(x + 1)$$

Это не равно $y(x) = 3 — 2 \cos(x — 1)$, значит функция нечетная она не является четной.

д) Нули функции

Решим уравнение $y = 0$:

$$3 — 2 \cos(x — 1) = 0$$ $$-2 \cos(x — 1) = -3$$ $$\cos(x — 1) = \frac{3}{2}$$

Но косинус не может быть больше 1, значит корней нет.

е) Максимальные значения

Максимум функции — когда $\cos(x — 1)$ минимально (т.е. равно $-1$):

$$3 — 2 \cos(x — 1) = 5$$

Решим:

$$-2 \cos(x — 1) = 2$$ $$\cos(x — 1) = -1$$

Решения для $\cos \theta = -1$:

$$x — 1 = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi + 1 + 2\pi n$$

ж) Минимальные значения

Минимум функции — когда $\cos(x — 1) = 1$:

$$3 — 2 \cos(x — 1) = 1$$ $$-2 \cos(x — 1) = -2$$ $$\cos(x — 1) = 1$$

Решения:

$$x — 1 = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = 1 + 2\pi n$$