ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 15 Алимов — Подробные Ответы

1. 1, 1/5, 1/25, … ;
2. 1/3, 1/9, 1/27, … ;
3. -27, -9, -3, … ;
4. -64,-32,-16, …;

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

$\mathrm{1)\; 1};\frac{1}{5};\frac{1}{25};\dots$;

$b_2=1$ и $b_3=\frac{1}{5}$;
$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{1}{5}}{1}=\frac{1}{5}\cdot 5=\frac{1}{5}$;
$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — прогрессия бесконечно убывает;

2) $\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};\dots$;

$b_1=\frac{1}{3}$ и $b_2=\frac{1}{9}$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9}\cdot 3=\frac{1}{3}$;
$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — прогрессия бесконечно убывает;

$3)\; -27;-9;-3;\dots$;

$b_1=-27$ и $b_2=-9$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-9}{-27}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$;
$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — прогрессия бесконечно убывает;

$4)\; -64;-32;-16;\dots$;

$b_1=-64$ и $b_2=-32$;
$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-32}{-64}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$;
$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — прогрессия бесконечно убывает

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$. То есть, каждый следующий член прогрессии по абсолютной величине становится всё меньше, приближаясь к нулю.

1) Последовательность:

$$1;\frac{1}{5};\frac{1}{25};\dots$$

• Это геометрическая прогрессия. Проверим:
  Второй член $b_2=\frac{1}{5}$, третий $b_3=\frac{1}{25}$
• Найдём знаменатель прогрессии:$$q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{1}{25}}{\frac{1}{5}}=\frac{1}{25}\cdot \frac{5}{1}=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$$
• Проверим модуль:$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{5}\mid =\frac{1}{5}<1$$
• Вывод: $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, значит прогрессия бесконечно убывающая.

2) Последовательность:

$$\frac{1}{3};\frac{1}{9};\frac{1}{27};\dots$$

• Первый член $b_1=\frac{1}{3}$, второй $b_2=\frac{1}{9}$
• Найдём знаменатель:$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{9}\cdot 3=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$
• Проверим модуль:$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{3}\mid =\frac{1}{3}<1$$
• Вывод: $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, прогрессия бесконечно убывающая.

3) Последовательность:

$$-27;-9;-3;\dots$$

• Первый член $b_1=-27$, второй $b_2=-9$
• Найдём знаменатель:$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-9}{-27}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$$
• Проверим модуль:$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{3}\mid =\frac{1}{3}<1$$
• Вывод: хотя члены прогрессии отрицательны, абсолютные значения уменьшаются, а $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, значит прогрессия бесконечно убывающая.

4) Последовательность:

$$-64;-32;-16;\dots$$

• Первый член $b_1=-64$, второй $b_2=-32$
• Найдём знаменатель:$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-32}{-64}=\frac{32}{64}=\frac{1}{2}$$
• Проверим модуль:$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\mid \frac{1}{2}\mid =\frac{1}{2}<1$$
• Вывод: члены прогрессии становятся по модулю всё меньше, значит она бесконечно убывающая.

Итог:

Во всех четырёх случаях $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$, значит все прогрессии являются бесконечно убывающими. ✅