ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1541 Алимов — Подробные Ответы

1. у — 9 — х2, у = (х — 1)2 — 4;
2. у =x2, у = корень 3 степени x.

1) $y = 9 — x^2$ и $y = (x-1)^2 — 4$;

Точки пересечения функций:

$$9 — x^2 = (x-1)^2 — 4;$$ $$9 — x^2 = x^2 — 2x + 1 — 4;$$ $$9 — x^2 = x^2 — 2x — 3;$$ $$2x^2 — 2x — 12 = 0;$$ $$x^2 — x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{3} \left( 9 — x^2 — x^2 + 2x + 3 \right) = \int_{-2}^{3} \left( 12 — 2x^2 + 2x \right) =$$ $$= \left( 12 \cdot \frac{x^1}{1} — 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \Bigg|_{-2}^{3} = \left( 12x — \frac{2x^3}{3} + x^2 \right) \Bigg|_{-2}^{3} =$$ $$= 12 \cdot 3 — \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3^2 — 12 \cdot (-2) + \frac{2 \cdot (-2)^3}{3} — (-2)^2 =$$ $$= 36 — \frac{2 \cdot 27}{3} + 9 + 24 — \frac{2 \cdot 8}{3} — 4 = 65 — 18 — \frac{16}{3} =$$ $$= 47 — 5 \frac{1}{3} = 41 \frac{2}{3};$$

Ответ: $41 \frac{2}{3}$.

2) $y = x^2$ и $y = \sqrt[3]{x}$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 = \sqrt[3]{x};$$ $$(x^2)^3 = x;$$ $$x^6 = x;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} \left( x^2 — \sqrt[3]{x} \right) = \int_{0}^{1} \left( x^2 — x^{\frac{1}{3}} \right) = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right) \Bigg|_{0}^{1} = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right) \Bigg|_{0}^{1} =$$ $$= \frac{1^3}{3} — \frac{3 \sqrt[3]{1^4}}{4} — \frac{0^3}{3} + \frac{3 \sqrt[3]{0^4}}{4} = \frac{1}{3} — \frac{3}{4} = \frac{4 — 9}{12} = -\frac{5}{12};$$

Ответ: $\frac{5}{12}$.

1. Задача: $y = 9 — x^2$ и $y = (x-1)^2 — 4$

1.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $y = 9 — x^2$ и $y = (x-1)^2 — 4$. Для этого сначала найдем точки пересечения этих функций и затем вычислим площадь между ними.

1.2. Точки пересечения функций:

Для нахождения точек пересечения приравняем функции:

$$9 — x^2 = (x — 1)^2 — 4.$$

Раскроем правую часть:

$$9 — x^2 = x^2 — 2x + 1 — 4.$$

Упростим:

$$9 — x^2 = x^2 — 2x — 3.$$

Теперь соберем все слагаемые на одну сторону:

$$9 — x^2 — x^2 + 2x + 3 = 0,$$ $$2x^2 — 2x — 12 = 0.$$

Поделим обе части на 2:

$$x^2 — x — 6 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3.$$

Таким образом, точки пересечения находятся в точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

1.3. Площадь криволинейной трапеции:

Теперь вычислим площадь между графиками функций на интервале $x = -2$ до $x = 3$. Площадь вычисляется как разность значений функций:

$$S = \int_{-2}^{3} \left( (9 — x^2) — \left( (x — 1)^2 — 4 \right) \right) \, dx.$$

Приведем выражение:

$$S = \int_{-2}^{3} \left( 9 — x^2 — x^2 + 2x + 3 \right) \, dx = \int_{-2}^{3} \left( 12 — 2x^2 + 2x \right) \, dx.$$

1.4. Вычисление интеграла:

Вычислим интеграл для каждого слагаемого:

$$\int 12 \, dx = 12x, \quad \int -2x^2 \, dx = -\frac{2x^3}{3}, \quad \int 2x \, dx = x^2.$$

Таким образом, площадь $S$ будет:

$$S = \left( 12x — \frac{2x^3}{3} + x^2 \right) \Bigg|_{-2}^{3}.$$

1.5. Подстановка пределов интегрирования:

Теперь подставим пределы $x = 3$ и $x = -2$ в выражение для площади.

Для $x = 3$:

$$12 \cdot 3 — \frac{2 \cdot 3^3}{3} + 3^2 = 36 — \frac{2 \cdot 27}{3} + 9 = 36 — 18 + 9 = 27.$$

Для $x = -2$:

$$12 \cdot (-2) — \frac{2 \cdot (-2)^3}{3} + (-2)^2 = -24 — \frac{2 \cdot (-8)}{3} + 4 = -24 + \frac{16}{3} + 4 = -20 + \frac{16}{3}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$-20 + \frac{16}{3} = \frac{-60}{3} + \frac{16}{3} = \frac{-44}{3}.$$

1.6. Итоговое значение площади:

Теперь вычислим разницу:

$$S = 27 — \frac{-44}{3} = 27 + \frac{44}{3} = \frac{81}{3} + \frac{44}{3} = \frac{125}{3}.$$

Переведем в смешанное число:

$$\frac{125}{3} = 41 \frac{2}{3}.$$

1.7. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна:

$$\boxed{41 \frac{2}{3}}.$$

2. Задача: $y = x^2$ и $y = \sqrt[3]{x}$

2.1. Формулировка задачи:

Нам нужно найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $y = x^2$ и $y = \sqrt[3]{x}$ на интервале между точками пересечения этих функций.

2.2. Точки пересечения функций:

Для нахождения точек пересечения приравняем функции:

$$x^2 = \sqrt[3]{x}.$$

Возведем обе стороны в третью степень:

$$(x^2)^3 = x,$$ $$x^6 = x.$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$$x^6 — x = 0,$$ $$x(x^5 — 1) = 0.$$

Решаем уравнение:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x^5 = 1.$$

Корни уравнения $x^5 = 1$ дают $x = 1$. Таким образом, точки пересечения — $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

2.3. Площадь криволинейной трапеции:

Площадь между графиками функций на интервале от $x = 0$ до $x = 1$ вычисляется через интеграл от разности функций:

$$S = \int_{0}^{1} \left( x^2 — \sqrt[3]{x} \right) \, dx.$$

Запишем это как:

$$S = \int_{0}^{1} \left( x^2 — x^{\frac{1}{3}} \right) \, dx.$$

2.4. Вычисление интегралов:

Вычислим интегралы для каждого слагаемого:

• $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$,
• $\int x^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$.

Таким образом, площадь $S$ будет:

$$S = \left( \frac{x^3}{3} — \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} \right) \Bigg|_{0}^{1}.$$

2.5. Подстановка пределов интегрирования:

Теперь подставим пределы $x = 1$ и $x = 0$ в выражение для площади.

Для $x = 1$:

$$\frac{1^3}{3} — \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} = \frac{1}{3} — \frac{3}{4}.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{1}{3} — \frac{3}{4} = \frac{4}{12} — \frac{9}{12} = -\frac{5}{12}.$$

Для $x = 0$:

$$\frac{0^3}{3} — \frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} = 0.$$

2.6. Итоговое значение площади:

Теперь вычислим разницу:

$$S = -\frac{5}{12} — 0 = -\frac{5}{12}.$$

Площадь трапеции по определению должна быть положительной, поэтому мы берем модуль:

$$S = \frac{5}{12}.$$

2.7. Ответ:

Площадь криволинейной трапеции равна:

$$\boxed{\frac{5}{12}}.$$

Итоговое решение:

1. Ответ для первой задачи: $41 \frac{2}{3}$.
2. Ответ для второй задачи: $\frac{5}{12}$.