ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 530 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1. cos 630° — sin 1470° — ctg 1125°;
2. tg 1800° — sin 495° + cos 945°;
3. 3 cos 3660° + sin (-1560°) + cos (-450°);
4. cos 4455° — cos (-945°) + tg 1035° — ctg (-1500°).

1.

$$\cos 630^\circ — \sin 1470^\circ — \operatorname{ctg} 1125^\circ =$$ $$= \cos (2 \cdot 360^\circ — 90^\circ) — \sin (4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) — \operatorname{ctg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) =$$ $$= \cos(-90^\circ) — \sin(30^\circ) — \operatorname{ctg} 45^\circ = -\cos 90^\circ — \frac{1}{2} — 1 = 0 — \frac{1}{2} — \frac{2}{2} = -\frac{3}{2};$$

2.

$$\operatorname{tg} 1800^\circ — \sin 495^\circ + \cos 945^\circ =$$ $$= \operatorname{tg}(10 \cdot 180^\circ + 0^\circ) — \sin(360^\circ + 180^\circ — 45^\circ) + \cos(2 \cdot 360^\circ + 180^\circ + 45^\circ) =$$ $$= \operatorname{tg} 0 — \sin(180^\circ — 45^\circ) + \cos(180^\circ + 45^\circ) = 0 — \sin 45^\circ — \cos 45^\circ =$$ $$= -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2};$$

3.

$$3 \cos 3660^\circ + \sin(-1560^\circ) + \cos(-450^\circ) =$$ $$= 3 \cos(10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) + \sin(-5 \cdot 360^\circ + 180^\circ + 60^\circ) + \cos(-360^\circ — 90^\circ) =$$ $$= 3 \cos 60^\circ + \sin(180^\circ + 60^\circ) + \cos(-90^\circ) = 3 \cdot \frac{1}{2} — \sin 60^\circ — \cos 90^\circ =$$ $$= \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} — 0 = \frac{3 — \sqrt{3}}{2};$$

4.

$$\cos 4455^\circ — \cos(-945^\circ) + \operatorname{tg}(1035^\circ) — \operatorname{ctg}(-1500^\circ) =$$ $$= \cos(12 \cdot 360^\circ + 90^\circ + 45^\circ) — \cos(-3 \cdot 360^\circ + 90^\circ + 45^\circ) +$$ $$+ \operatorname{tg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) — \operatorname{ctg}(-8 \cdot 1440 — 60^\circ) = \cos(90^\circ + 45^\circ) —$$ $$— \cos(90^\circ + 45^\circ) + \operatorname{tg}(-45^\circ) — \operatorname{ctg}(-60^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ + \operatorname{ctg} 60^\circ = -1 + \frac{\sqrt{3}}{3};$$

1)

$$\cos 630^\circ — \sin 1470^\circ — \operatorname{ctg} 1125^\circ$$

Шаг 1: Упростим каждый угол

• $\cos 630^\circ = \cos(2 \cdot 360^\circ — 90^\circ) = \cos(-90^\circ)$
• $\sin 1470^\circ = \sin(4 \cdot 360^\circ + 30^\circ) = \sin(30^\circ)$
• $\operatorname{ctg} 1125^\circ = \operatorname{ctg}(6 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \operatorname{ctg}(45^\circ)$

Шаг 2: Найдём значения

• $\cos(-90^\circ) = \cos 90^\circ = 0$
• $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
• $\operatorname{ctg} 45^\circ = 1$

Шаг 3: Подставим и упростим

$$0 — \frac{1}{2} — 1 = -\frac{1}{2} — \frac{2}{2} = -\frac{3}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{3}{2}}$$

2)

$$\operatorname{tg} 1800^\circ — \sin 495^\circ + \cos 945^\circ$$

Шаг 1: Упростим углы

• $\operatorname{tg} 1800^\circ = \operatorname{tg}(10 \cdot 180^\circ) = \operatorname{tg}(0^\circ) = 0$
• $\sin 495^\circ = \sin(360^\circ + 135^\circ) = \sin(180^\circ — 45^\circ) = \sin 45^\circ$
• $\cos 945^\circ = \cos(720^\circ + 225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ$

Шаг 2: Найдём значения

• $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 3: Считаем

$$0 — \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\sqrt{2}}$$

3)

$$3 \cos 3660^\circ + \sin(-1560^\circ) + \cos(-450^\circ)$$

Шаг 1: Упростим углы

• $\cos 3660^\circ = \cos(10 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ$
• $\sin(-1560^\circ) = \sin(-4 \cdot 360^\circ — 60^\circ) = \sin(-60^\circ) = -\sin 60^\circ$
• $\cos(-450^\circ) = \cos(-360^\circ — 90^\circ) = \cos(-90^\circ) = 0$

Шаг 2: Найдём значения

• $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
• $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 3: Считаем

$$3 \cdot \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = \frac{3}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 — \sqrt{3}}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{3 — \sqrt{3}}{2}}$$

4)

$$\cos 4455^\circ — \cos(-945^\circ) + \operatorname{tg}(1035^\circ) — \operatorname{ctg}(-1500^\circ)$$

Шаг 1: Упростим углы

• $\cos 4455^\circ$

$$4455^\circ = 12 \cdot 360^\circ + 135^\circ = \cos(90^\circ + 45^\circ) \Rightarrow \cos(135^\circ) = -\cos 45^\circ$$

• $\cos(-945^\circ)$

$$-945^\circ = -3 \cdot 360^\circ — 45^\circ = \cos(-90^\circ — 45^\circ) = \cos(-135^\circ) = \cos(135^\circ) = -\cos 45^\circ$$

• $\operatorname{tg}(1035^\circ)$

$$1035^\circ = 5 \cdot 180^\circ + 135^\circ = \operatorname{tg}(135^\circ) = -\operatorname{tg} 45^\circ = -1$$

• $\operatorname{ctg}(-1500^\circ)$

$$-1500^\circ = -4 \cdot 360^\circ — 60^\circ = \operatorname{ctg}(-60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 2: Найдём значения

• $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 3: Считаем

$$(-\cos 45^\circ) — (-\cos 45^\circ) + (-1) — \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 0 -1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{-1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$$