ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1036 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить интеграл (1036—1037).

1. интеграл (0;1) (5×4-8×3)dx;
2. интеграл (-1;1=2) (6×3-5x)dx;
3. интеграл (1;4) корень x(3-7/x)dx;
4. интеграл (1;8) 4 корень 3 степени x(1-4/x)dx;
5. интеграл (0;3) корень (x+1)dx;
6. интеграл (2;6) корень(2x-3)dx.

1)

$$\int_{0}^{1}(5x^4 — 8x^3)\,dx = \left(5 \cdot \frac{x^5}{5} — 8 \cdot \frac{x^4}{4}\right)\bigg|_{0}^{1} = (x^5 — 2x^4)\bigg|_{0}^{1} =$$ $$= 1^5 — 2 \cdot 1^4 — 0^5 + 2 \cdot 0^4 = 1 — 2 = -1;$$

2)

$$\int_{-1}^{2}(6x^3 — 5x)\,dx = \left(6 \cdot \frac{x^4}{4} — 5 \cdot \frac{x^2}{2}\right)\bigg|_{-1}^{2} = \left(\frac{3x^4}{2} — \frac{5x^2}{2}\right)\bigg|_{-1}^{2} =$$ $$= \frac{3 \cdot 2^4}{2} — \frac{5 \cdot 2^2}{2} — \frac{3 \cdot (-1)^4}{2} + \frac{5 \cdot (-1)^2}{2} = 24 — 10 — 1,5 + 2,5 = 15;$$

3)

$$\int_{1}^{4}\sqrt{x}\left(3 — \frac{7}{x}\right)\,dx = \int_{1}^{4}\left(3x^{\frac{1}{2}} — 7x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx = \left(3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} — 7 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right)\bigg|_{1}^{4} =$$ $$= \left(2x\sqrt{x} — 14\sqrt{x}\right)\bigg|_{1}^{4} = 2 \cdot 4\sqrt{4} — 14\sqrt{4} — 2 \cdot 1\sqrt{1} + 14\sqrt{1} =$$ $$= 8 \cdot 2 — 14 \cdot 2 — 2 + 14 = 16 — 28 + 12 = 0;$$

4)

$$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\left(1 — \frac{4}{x}\right)\,dx = \int_{1}^{8}\left(4x^{\frac{1}{3}} — 16x^{-\frac{2}{3}}\right)\,dx = \left(4 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} — 16 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}}\right)\bigg|_{1}^{8} =$$ $$= \left(3x \cdot \sqrt[3]{x} — 48 \sqrt[3]{x}\right)\bigg|_{1}^{8} = 3 \cdot 8 \cdot \sqrt[3]{8} — 48 \cdot \sqrt[3]{8} — 3 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{1} + 48 \cdot \sqrt[3]{1} =$$ $$= 24 \cdot 2 — 48 \cdot 2 — 3 + 48 = 48 — 96 + 45 = -3;$$

5)

$$\int_{0}^{3}\sqrt{x+1}\,dx = \int_{0}^{3}(x+1)^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x+1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg|_{0}^{3} = \frac{2}{3}\sqrt{(x+1)^3}\bigg|_{0}^{3} =$$ $$= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(3+1)^3} — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(0+1)^3} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{64} — \frac{2}{3} \cdot \sqrt{1} = \frac{2}{3} \cdot 8 — \frac{2}{3} = \frac{14}{3};$$

6)

$$\int_{2}^{6}\sqrt{2x-3}\,dx = \int_{2}^{6}(2x-3)^{\frac{1}{2}}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x-3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\bigg|_{2}^{6} = \frac{1}{3}\sqrt{(2x-3)^3}\bigg|_{2}^{6} =$$ $$= \frac{1}{3} \cdot \sqrt{(2 \cdot 6 — 3)^3} — \frac{1}{3} \cdot \sqrt{(2 \cdot 2 — 3)^3} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9^3} — \frac{1}{3} \cdot \sqrt{1^3} =$$ $$= \frac{1}{3} \cdot \sqrt{729} — \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cdot 27 — \frac{1}{3} = 9 — \frac{1}{3} = 8 \frac{2}{3};$$

1)

$$\int_{0}^{1}(5x^4 — 8x^3)\,dx$$

Шаг 1: Разделим интеграл на сумму двух:

$$\int_{0}^{1}(5x^4 — 8x^3)\,dx = \int_{0}^{1}5x^4\,dx — \int_{0}^{1}8x^3\,dx$$

Шаг 2: Найдём первообразные:

• $\int x^4 dx = \frac{x^5}{5}$
• $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$

Теперь:

$$\int_{0}^{1}5x^4\,dx = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5, \quad \int_{0}^{1}8x^3\,dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4$$

Шаг 3: Вычислим разность:

$$x^5 — 2x^4 \bigg|_0^1 = (1^5 — 2 \cdot 1^4) — (0^5 — 2 \cdot 0^4) = 1 — 2 — 0 + 0 = -1$$

Ответ:

$$\boxed{-1}$$

2)

$$\int_{-1}^{2}(6x^3 — 5x)\,dx$$

Шаг 1: Разделим:

$$\int_{-1}^{2}6x^3\,dx — \int_{-1}^{2}5x\,dx$$

Шаг 2: Найдём первообразные:

• $\int x^3 dx = \frac{x^4}{4}$
• $\int x dx = \frac{x^2}{2}$

Теперь:

$$6 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{3x^4}{2}, \quad 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5x^2}{2}$$

Шаг 3: Подстановка:

$$\left( \frac{3x^4}{2} — \frac{5x^2}{2} \right)\bigg|_{-1}^{2}$$

Верхний предел (x = 2):

$$\frac{3 \cdot 16}{2} — \frac{5 \cdot 4}{2} = 24 — 10 = 14$$

Нижний предел (x = -1):

$$\frac{3 \cdot 1}{2} — \frac{5 \cdot 1}{2} = \frac{3}{2} — \frac{5}{2} = -1$$

Разность:

$$14 — (-1) = 15$$

Ответ:

$$\boxed{15}$$

3)

$$\int_{1}^{4}\sqrt{x}\left(3 — \frac{7}{x}\right)\,dx$$

Шаг 1: Упростим подынтегральное выражение:

$$\sqrt{x} \cdot 3 — \sqrt{x} \cdot \frac{7}{x} = 3x^{1/2} — 7x^{-1/2}$$

Шаг 2: Интегрируем:

• $\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} x^{3/2}$
• $\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2 x^{1/2}$

Значит:

$$\int_{1}^{4}3x^{1/2} dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x\sqrt{x}$$ $$\int_{1}^{4}7x^{-1/2} dx = 7 \cdot 2\sqrt{x} = 14\sqrt{x}$$

Шаг 3: Вычислим:

$$(2x\sqrt{x} — 14\sqrt{x})\bigg|_{1}^{4}$$

Верхний предел (x = 4):

$$2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4} — 14 \cdot \sqrt{4} = 8 \cdot 2 — 14 \cdot 2 = 16 — 28 = -12$$

Нижний предел (x = 1):

$$2 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} — 14 \cdot \sqrt{1} = 2 — 14 = -12$$

Разность:

$$-12 — (-12) = 0$$

Ответ:

$$\boxed{0}$$

4)

$$\int_{1}^{8}\sqrt[3]{x}\left(1 — \frac{4}{x}\right)\,dx$$

Шаг 1: Преобразуем:

$$\sqrt[3]{x} — 4x^{-2/3}$$

Шаг 2: Интегралы:

• $\int x^{1/3} dx = \frac{x^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4} x^{4/3}$
• $\int x^{-2/3} dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3x^{1/3}$

Теперь:

$$\int_{1}^{8}4x^{1/3} dx = 4 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} = 3x^{4/3}$$ $$\int_{1}^{8}16x^{-2/3} dx = 16 \cdot 3x^{1/3} = 48x^{1/3}$$

Шаг 3: Подстановка:

$$(3x\sqrt[3]{x} — 48\sqrt[3]{x})\bigg|_1^8$$

x = 8:

$$3 \cdot 8 \cdot \sqrt[3]{8} = 24 \cdot 2 = 48, \quad 48 \cdot 2 = 96 \Rightarrow 48 — 96 = -48$$

x = 1:

$$3 \cdot 1 \cdot 1 = 3, \quad 48 \cdot 1 = 48 \Rightarrow 3 — 48 = -45$$

Разность:

$$-48 — (-45) = -3$$

Ответ:

$$\boxed{-3}$$

5)

$$\int_{0}^{3}\sqrt{x+1}\,dx$$

Шаг 1: Подставим $u = x + 1$, тогда $du = dx$, $x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = 3 \Rightarrow u = 4$

$$\int_{1}^{4} u^{1/2} du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3} u^{3/2}$$

Шаг 2: Подстановка обратно:

$$\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} \bigg|_0^3 = \frac{2}{3} \cdot (4)^{3/2} — \frac{2}{3} \cdot (1)^{3/2}$$ $$= \frac{2}{3} \cdot 8 — \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3} — \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{14}{3}}$$

6)

$$\int_{2}^{6}\sqrt{2x — 3}\,dx$$

Шаг 1: Подстановка: $u = 2x — 3 \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$

Пределы:

• $x = 2 \Rightarrow u = 1$
• $x = 6 \Rightarrow u = 9$

$$\int_{1}^{9} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{9} u^{1/2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{1}{3} u^{3/2}$$

Шаг 2: Подстановка обратно:

$$\frac{1}{3} (2x — 3)^{3/2} \bigg|_2^6 = \frac{1}{3}(9)^{3/2} — \frac{1}{3}(1)^{3/2}$$ $$= \frac{1}{3} \cdot 27 — \frac{1}{3} = 9 — \frac{1}{3} = \frac{26}{3} = 8 \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$\boxed{8 \frac{2}{3}}$$