ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1392 Алимов — Подробные Ответы

1. 8х2 — 2х — 1 < 0;
2. 5х2 + 7x < = 0.

$8x^2 — 2x — 1 < 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36$, тогда:

$$x_1 = \frac{2 — 6}{2 \cdot 8} = \frac{-4}{16} = -0,25;$$ $$x_2 = \frac{2 + 6}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = 0,5;$$

$8(x + 0,25)(x — 0,5) < 0$;

$$-0,25 < x < 0,5;$$

Ответ: $x \in (-0,25; 0,5)$.

$5x^2 + 7x \leq 0$;

$(5x + 7)x \leq 0$;

$$-1,4 < x < 0;$$

Ответ: $x \in (-1,4; 0)$.

Задача 1: $8x^2 — 2x — 1 < 0$

Шаг 1: Найдем дискриминант.

Исходное неравенство:

$$8x^2 — 2x — 1 < 0.$$

Решим соответствующее квадратное уравнение $8x^2 — 2x — 1 = 0$, чтобы найти его корни, а затем использовать их для анализа знаков. Вначале находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 8$, $b = -2$, и $c = -1$. Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36.$$

Дискриминант $D = 36$ положительный, следовательно, уравнение имеет два различных корня.

Шаг 2: Находим корни квадратного уравнения.

Для нахождения корней квадратного уравнения используем формулу:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Для $x_1$:

$$x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 — 6}{16} = \frac{-4}{16} = -0.25.$$

Для $x_2$:

$$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = 0.5.$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = -0.25, \quad x_2 = 0.5.$$

Шаг 3: Исследуем знаки выражения $8x^2 — 2x — 1$.

Теперь решим неравенство:

$$8x^2 — 2x — 1 < 0.$$

Используя найденные корни $x_1 = -0.25$ и $x_2 = 0.5$, можно представить выражение в виде:

$$8(x + 0.25)(x — 0.5) < 0.$$

Теперь исследуем знаки выражения $(x + 0.25)(x — 0.5)$ на интервалах, определяемых корнями $x_1$ и $x_2$, то есть на интервалах $(-\infty, -0.25)$, $(-0.25, 0.5)$, и $(0.5, +\infty)$.

Шаг 4: Определение знаков на интервалах.

На интервале $(-\infty, -0.25)$, возьмем точку $x = -1$:

$$(x + 0.25)(x — 0.5) = (-1 + 0.25)(-1 — 0.5) = (-0.75)(-1.5) > 0.$$

Знак положительный.

На интервале $(-0.25, 0.5)$, возьмем точку $x = 0$:

$$(x + 0.25)(x — 0.5) = (0 + 0.25)(0 — 0.5) = (0.25)(-0.5) < 0.$$

Знак отрицательный.

На интервале $(0.5, +\infty)$, возьмем точку $x = 1$:

$$(x + 0.25)(x — 0.5) = (1 + 0.25)(1 — 0.5) = (1.25)(0.5) > 0.$$

Знак положительный.

Шаг 5: Ответ.

Неравенство $8(x + 0.25)(x — 0.5) < 0$ выполняется на интервале, где произведение $(x + 0.25)(x — 0.5)$ отрицательно, то есть на интервале $(-0.25, 0.5)$.

Ответ: $x \in (-0.25; 0.5)$.

Задача 2: $5x^2 + 7x \leq 0$

Шаг 1: Представление неравенства в виде произведения.

Неравенство:

$$5x^2 + 7x \leq 0.$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$x(5x + 7) \leq 0.$$

Теперь решим неравенство:

$$x(5x + 7) \leq 0.$$

Шаг 2: Решение неравенства.

Для того чтобы произведение $x(5x + 7)$ было неотрицательным, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю или оба множителя имели противоположные знаки. Решаем два уравнения:

1. $x = 0$, то есть $x = 0$.
2. $5x + 7 = 0$, то есть $x = -\frac{7}{5}$.

Теперь определим, на каких интервалах произведение $x(5x + 7)$ будет отрицательным. Для этого исследуем знаки на интервалах, определяемых точками $x = 0$ и $x = -\frac{7}{5}$: $(-\infty, -\frac{7}{5})$, $(-\frac{7}{5}, 0)$, и $(0, +\infty)$.

Шаг 3: Определение знаков на интервалах.

На интервале $(-\infty, -\frac{7}{5})$, возьмем точку $x = -2$:

$$x(5x + 7) = (-2)(5(-2) + 7) = (-2)(-10 + 7) = (-2)(-3) > 0.$$

Знак положительный.

На интервале $(-\frac{7}{5}, 0)$, возьмем точку $x = -1$:

$$x(5x + 7) = (-1)(5(-1) + 7) = (-1)(-5 + 7) = (-1)(2) < 0.$$

Знак отрицательный.

На интервале $(0, +\infty)$, возьмем точку $x = 1$:

$$x(5x + 7) = (1)(5(1) + 7) = (1)(5 + 7) = (1)(12) > 0.$$

Знак положительный.

Шаг 4: Ответ.

Неравенство выполняется, когда произведение $x(5x + 7) \leq 0$, то есть на интервале $[-\frac{7}{5}, 0]$.

Ответ: $x \in \left[-\frac{7}{5}; 0\right]$.

Итоговые ответы:

1. $x \in (-0.25; 0.5)$
2. $x \in \left[-\frac{7}{5}; 0\right]$