ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 723 Алимов — Подробные Ответы

Используя свойство возрастания или убывания функции у = sin х, сравнить числа:

1. sin 7пи/10 и sin 13пи/10;
2. sin 13пи/7 и sin 11пи/7;
3. sin (-8пи/7) и sin (-9пи/8);
4. sin 7 и sin 6.

Функция $y = \sin x$:

Возрастает на отрезке $\left[ -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right]$;

Убывает на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$;

$\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$;

Числа $\frac{7\pi}{10}$ и $\frac{13\pi}{10}$ принадлежат отрезку $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$ — функция убывает;

$$\frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}, \text{следовательно } \sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10};$$

$\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$;

Числа $\frac{13\pi}{7}$ и $\frac{11\pi}{7}$ принадлежат отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \right]$ — функция возрастает;

$$\frac{13\pi}{7} > \frac{11\pi}{7}, \text{следовательно } \sin \frac{13\pi}{7} > \sin \frac{11\pi}{7};$$

$\sin \left( -\frac{8\pi}{7} \right)$ и $\sin \left( -\frac{9\pi}{8} \right)$;

Числа $-\frac{8\pi}{7}$ и $-\frac{9\pi}{8}$ принадлежат отрезку $\left[ -\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2} \right]$ — функция убывает;

$$-\frac{8\pi}{7} < -\frac{9\pi}{8}, \text{следовательно } \sin \left( -\frac{8\pi}{7} \right) > \sin \left( -\frac{9\pi}{8} \right);$$

$\sin 7$ и $\sin 6$;

Числа 7 и 6 принадлежат отрезку $\left[ \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \right]$ — функция возрастает;

$$7 > 6, \text{следовательно } \sin 7 > \sin 6;$$

Рассмотрим функцию $y = \sin x$.

Дано:

• Функция: $y = \sin x$.
• Задано несколько пар чисел, значения синуса которых нужно сравнить.
• Известно, что функция $\sin x$ возрастает и убывает на определённых интервалах.

Цель:

Для каждой пары чисел определить, какое из значений функции больше, используя свойства возрастания и убывания функции $\sin x$ на соответствующих отрезках.

Теоретическая база:

1. Свойства функции $y = \sin x$:

• Функция $y = \sin x$ — периодическая с периодом $2\pi$.
• На интервале $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция возрастает.
• На интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ функция убывает.
• На интервале $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$ функция снова возрастает.

2. Производная функции:

$$y = \sin x \implies y’ = \cos x$$

• На интервале $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos x > 0$ — функция возрастает.
• На интервале $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$, $\cos x < 0$ — функция убывает.
• На интервале $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$, $\cos x > 0$ — функция возрастает.

3. Правила сравнения значений функции на монотонных отрезках:

• Если функция возрастает на отрезке, то при $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.
• Если функция убывает на отрезке, то при $x_1 > x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.

Решение:

1) Сравнение $\sin \frac{7\pi}{10}$ и $\sin \frac{13\pi}{10}$

• Проверяем, к какому отрезку принадлежат числа:

$$\frac{7\pi}{10} \approx 2.199, \quad \frac{13\pi}{10} \approx 4.084$$

• Известно, что:

$$\frac{\pi}{2} = 1.5708, \quad \frac{3\pi}{2} = 4.7124$$

• Значит, и $\frac{7\pi}{10}$, и $\frac{13\pi}{10}$ принадлежат отрезку $\left[ \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right]$.
• На этом отрезке $\sin x$ убывает.
• Сравниваем сами аргументы:

$$\frac{7\pi}{10} < \frac{13\pi}{10}$$

• Поскольку функция убывает, то большему аргументу соответствует меньшее значение функции:

$$\sin \frac{7\pi}{10} > \sin \frac{13\pi}{10}$$

2) Сравнение $\sin \frac{13\pi}{7}$ и $\sin \frac{11\pi}{7}$

• Приблизительные значения:

$$\frac{13\pi}{7} \approx 5.834, \quad \frac{11\pi}{7} \approx 4.934$$

• Проверяем принадлежность к интервалу $\left[ \frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2} \right]$:

$$\frac{3\pi}{2} = 4.7124, \quad \frac{5\pi}{2} = 7.8539$$

• Оба числа лежат в указанном интервале.
• На данном отрезке функция возрастает.
• Сравниваем аргументы:

$$\frac{13\pi}{7} > \frac{11\pi}{7}$$

• При возрастании функции большее значение аргумента соответствует большему значению функции:

$$\sin \frac{13\pi}{7} > \sin \frac{11\pi}{7}$$

3) Сравнение $\sin \left( -\frac{8\pi}{7} \right)$ и $\sin \left( -\frac{9\pi}{8} \right)$

• Приблизительные значения:

$$-\frac{8\pi}{7} \approx -3.590, \quad -\frac{9\pi}{8} \approx -3.534$$

• Рассмотрим интервал:

$$\left[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}\right] = [-4.7124; -1.5708]$$

• Оба числа принадлежат этому интервалу.
• На этом интервале функция убывает.
• Сравним аргументы:

$$-\frac{8\pi}{7} < -\frac{9\pi}{8}$$

• Поскольку функция убывает, большему аргументу соответствует меньшее значение функции:

$$\sin \left( -\frac{8\pi}{7} \right) > \sin \left( -\frac{9\pi}{8} \right)$$

4) Сравнение $\sin 7$ и $\sin 6$

• Проверим принадлежность чисел к интервалу $\left[\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}\right]$:

$$\frac{3\pi}{2} \approx 4.7124, \quad \frac{5\pi}{2} \approx 7.8539$$

• Числа 7 и 6 лежат в данном интервале.
• На этом интервале функция возрастает.
• Сравним сами числа:

$$7 > 6$$

• Так как функция возрастает, большему аргументу соответствует большее значение функции:

$$\sin 7 > \sin 6$$