ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1534 Алимов — Подробные Ответы

Исследовать с помощью производной функцию у = х3- 5×2 — x + 5 и построить её график. Записать уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой, равной 4.

Дана функция:
$y = x^3 — 5x^2 — x + 5$

Производная функции:

$y'(x) = (x^3)’ — 5(x^2)’ — (x — 5)’$
$y'(x) = 3x^2 — 5 \cdot 2x — 1 = 3x^2 — 10x — 1$

Промежуток возрастания:

$3x^2 — 10x — 1 > 0$
$D = 10^2 + 4 \cdot 3 = 100 + 12 = 112 = 16 \cdot 7$
Тогда:
$x = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}$
$\left( x — \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3} \right) \left( x — \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \right) > 0$
$x < \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3} \quad \text{и} \quad x > \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$

Промежуток убывания:

$\frac{5 — 2\sqrt{7}}{3} < x < \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$

Критические точки:

$x = \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3} \quad \text{— точка максимума;}$
$x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \quad \text{— точка минимума.}$

Максимум и минимум функции:

$y\left( \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3} \right) \approx (-0,01)^3 — 5 \cdot (-0,01)^2 + 0,01 + 5 \approx 5$
$y\left( \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \right) \approx (3,4)^3 — 5 \cdot 3,4^2 — 3,4 + 5 \approx -16,9$

Координаты некоторых точек:

График функции:

Уравнение касательной в точке с абсциссой $x = 4$:

$f'(4) = 3 \cdot 4^2 — 10 \cdot 4 — 1 = 48 — 40 — 1 = 7$
$f(4) = 4^3 — 5 \cdot 4^2 — 4 + 5 = 64 — 80 — 4 + 5 = -15$
$y = -15 + 7(x — 4) = -15 + 7x — 28 = 7x — 43$

Ответ: $y = 7x — 43$$$\boxed{y = 7x — 43}$$

Функция:

$$y = x^3 — 5x^2 — x + 5$$

Нам нужно выполнить анализ этой функции, найти её производную, исследовать её на возрастание и убывание, а также найти критические точки, максимумы и минимумы. В конце нужно составить уравнение касательной в точке с абсциссой $x = 4$.

Шаг 1: Находим производную функции

Для того чтобы исследовать поведение функции, нам нужно найти её первую производную. Это позволит понять, на каких промежутках функция возрастает или убывает.

Применяем стандартные правила дифференцирования:

• Производная $x^n$ по $x$ равна $n \cdot x^{n-1}$,
• Производная от $ax$ по $x$ равна $a$,
• Производная от константы равна 0.

Теперь дифференцируем каждый член функции $y = x^3 — 5x^2 — x + 5$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 5 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) — \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(5)$$ $$y'(x) = 3x^2 — 5 \cdot 2x — 1 + 0$$ $$y'(x) = 3x^2 — 10x — 1$$

Мы нашли производную:

$$y'(x) = 3x^2 — 10x — 1$$

Шаг 2: Исследуем функцию на возрастание и убывание

Для того чтобы найти, на каких промежутках функция возрастает или убывает, нужно решить неравенство $y'(x) > 0$ для возрастания и $y'(x) < 0$ для убывания.

Промежуток возрастания:

Мы решаем неравенство:

$$3x^2 — 10x — 1 > 0$$

Для начала, решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 — 10x — 1 = 0$ с помощью дискриминанта.

Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $D$ равен:

$$D = b^2 — 4ac$$

Здесь $a = 3$, $b = -10$, $c = -1$, так что:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 100 + 12 = 112$$

Корни уравнения можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{10 \pm \sqrt{112}}{6} = \frac{10 \pm 4\sqrt{7}}{6} = \frac{5 \pm 2\sqrt{7}}{3}$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x_1 = \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3}, \quad x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$$

Теперь решим неравенство $3x^2 — 10x — 1 > 0$. Мы знаем, что его корни $x_1$ и $x_2$ делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty, x_1)$, $(x_1, x_2)$, $(x_2, \infty)$.

Чтобы понять, где выражение $3x^2 — 10x — 1$ положительно, исследуем знак на этих промежутках:

Для $x \in (-\infty, x_1)$, например, $x = -2$:

$$3(-2)^2 — 10(-2) — 1 = 12 + 20 — 1 = 31 > 0$$

Значит, на промежутке $(-\infty, x_1)$ функция возрастает.

Для $x \in (x_1, x_2)$, например, $x = 0$:

$$3(0)^2 — 10(0) — 1 = -1 < 0$$

Значит, на промежутке $(x_1, x_2)$ функция убывает.

Для $x \in (x_2, \infty)$, например, $x = 2$:

$$3(2)^2 — 10(2) — 1 = 12 — 20 — 1 = -9 < 0$$

Значит, на промежутке $(x_2, \infty)$ функция снова возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, x_1)$ и $(x_2, \infty)$, а убывает на промежутке $(x_1, x_2)$.

Промежуток убывания:

Промежуток убывания: $x_1 < x < x_2$.

Шаг 3: Критические точки

Критические точки — это точки, где производная функции равна нулю или не существует. Мы уже нашли корни производной:

$$x_1 = \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3}, \quad x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$$

Эти значения $x_1$ и $x_2$ — это критические точки.

• $x_1 = \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3}$ — точка максимума.
• $x_2 = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$ — точка минимума.

Шаг 4: Находим значения функции в этих точках

Для того чтобы найти максимумы и минимумы, подставим $x_1$ и $x_2$ в исходную функцию $y = x^3 — 5x^2 — x + 5$.

1. Для $x = \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3}$ (точка максимума):
   Подставляем в функцию:

   $$y\left( \frac{5 — 2\sqrt{7}}{3} \right) \approx (-0.01)^3 — 5 \cdot (-0.01)^2 + 0.01 + 5 \approx 5$$

2. Для $x = \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3}$ (точка минимума):
   Подставляем в функцию:

   $$y\left( \frac{5 + 2\sqrt{7}}{3} \right) \approx (3.4)^3 — 5 \cdot 3.4^2 — 3.4 + 5 \approx -16.9$$

Шаг 5: Координаты некоторых точек

Теперь вычислим значения функции для нескольких точек:

• Для $x = -2$:

  $$y(-2) = (-2)^3 — 5(-2)^2 — (-2) + 5 = -8 — 20 + 2 + 5 = -21$$

• Для $x = -1$:

  $$y(-1) = (-1)^3 — 5(-1)^2 — (-1) + 5 = -1 — 5 + 1 + 5 = 0$$

• Для $x = 1$:

  $$y(1) = (1)^3 — 5(1)^2 — (1) + 5 = 1 — 5 — 1 + 5 = 0$$

• Для $x = 3$:

  $$y(3) = (3)^3 — 5(3)^2 — (3) + 5 = 27 — 45 — 3 + 5 = -16$$

• Для $x = 5$:

  $$y(5) = (5)^3 — 5(5)^2 — (5) + 5 = 125 — 125 — 5 + 5 = 0$$

Таблица значений функции:

Шаг 6: Уравнение касательной в точке с абсциссой $x = 4$

Находим значение производной в точке $x = 4$:

$$y'(4) = 3 \cdot 4^2 — 10 \cdot 4 — 1 = 48 — 40 — 1 = 7$$

Находим значение функции в точке $x = 4$:

$$y(4) = 4^3 — 5 \cdot 4^2 — 4 + 5 = 64 — 80 — 4 + 5 = -15$$

Уравнение касательной в точке с абсциссой $x = 4$:
Используем формулу касательной:

$$y = y_0 + y'(x_0)(x — x_0)$$

Подставляем значения:

$$y = -15 + 7(x — 4)$$

Упростим:

$$y = -15 + 7x — 28 = 7x — 43$$

Ответ:

Уравнение касательной:

$$y=7x-43$$

$$y = 7x — 43$$Ответ:

$$\boxed{y = 7x — 43}$$