ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1466 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. у = 2- |х|;
2. у = |2 — х|;
3. у = |2 — х| + |х — 3|.

1) $y = 2 — |x|$

• Координаты точки излома:

  $$x = 0;$$ $$y = 2 — 0 = 2;$$

• Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

• Точки пересечения с прямой $y = 3$:

  $$2 — |x| = 3;$$ $$-|x| = 1;$$ $$|x| = -1 \quad \text{(корней нет)};$$

• График функции:

• Ответ: не пересекает.

2) $y = |2 — x|$

• Координаты точки излома:

  $$2 — x = 0, \quad \text{отсюда } x = 2;$$ $$y = |2 — 2| = 0;$$

• Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 4 \\ \hline y & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$$

• Точки пересечения с прямой $y = 3$:

  $$|2 — x| = 3;$$ $$\sqrt{(2 — x)^2} = 3;$$ $$4 — 4x + x^2 = 9;$$ $$x^2 — 4x — 5 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \quad \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;$$

• График функции:

• Ответ: $(-1; 3)$; $(5; 3)$.

3) $y = |2 — x| + |x — 3|$

• Координаты первой точки излома:

  $$2 — x = 0, \quad \text{отсюда } x = 2;$$ $$y = |2 — 2| + |2 — 3| = 0 + 1 = 1;$$

• Координаты второй точки излома:

  $$x — 3 = 0, \quad \text{отсюда } x = 3;$$ $$y = |2 — 3| + |3 — 3| = 1 + 0 = 1;$$

• Координаты некоторых точек:

  $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 5 \\ \hline y & 5 & 5 \\ \hline \end{array}$$

• Точки пересечения с прямой $y = 3$:

  $$|2 — x| + |x — 3| = 3;$$

  • Если $x > 3$, тогда:

    $$-(2 — x) + x — 3 = 3;$$ $$2x — 5 = 3;$$ $$2x = 8, \quad \text{отсюда } x = 4;$$

  • Если $2 < x \leq 3$, тогда:

    $$-(2 — x) — (x — 3) = 3;$$ $$0x + 1 = 3;$$ $$0x = 2 \quad \text{(корней нет)};$$

  • Если $x < 2$, тогда:

    $$2 — x — (x — 3) = 3;$$ $$-2x + 5 = 3;$$ $$-2x = -2, \quad \text{отсюда } x = 1;$$

• График функции

• Ответ: $(1; 3)$; $(4; 3)$.

Необходимо решить задачу для трёх различных функций и найти их точки пересечения с прямой $y = 3$.

1) Функция $y = 2 — |x|$

Шаг 1: Координаты точки излома

Функция $y = 2 — |x|$ имеет точку излома в точке $x = 0$, так как абсолютное значение $|x|$ меняет свой вид в этой точке.
Чтобы найти точку излома, при $x = 0$:

$$y = 2 — |0| = 2$$

Таким образом, координаты точки излома:

$$(0, 2)$$

Шаг 2: Координаты некоторых точек

Для других значений $x$, например, $x = -2$ и $x = 2$:

$$y = 2 — |-2| = 2 — 2 = 0$$ $$y = 2 — |2| = 2 — 2 = 0$$

Получаем таблицу координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & -2 & 2 \\ \hline y & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Точки пересечения с прямой $y = 3$

Теперь решим уравнение для поиска точек пересечения с прямой $y = 3$:

$$2 — |x| = 3$$ $$-|x| = 1 \quad \Rightarrow \quad |x| = -1$$

Так как модуль числа всегда неотрицателен, а $|x| = -1$ невозможно, то корней нет.

Ответ: Функция не пересекает прямую $y = 3$.

График функции:

График функции представляет собой букву «V», направленную вниз, с вершиной в точке $(0, 2)$.

Ответ: не пересекает.

2) Функция $y = |2 — x|$

Шаг 1: Координаты точки излома

Точка излома происходит, когда выражение внутри модуля равно нулю:

$$2 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$$

При $x = 2$:

$$y = |2 — 2| = 0$$

Таким образом, координаты точки излома:

$$(2, 0)$$

Шаг 2: Координаты некоторых точек

Для значений $x = 0$ и $x = 4$:

$$y = |2 — 0| = 2$$ $$y = |2 — 4| = 2$$

Получаем таблицу координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 4 \\ \hline y & 2 & 2 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Точки пересечения с прямой $y = 3$

Решим уравнение для нахождения точек пересечения с прямой $y = 3$:

$$|2 — x| = 3$$

Модуль даёт два возможных случая:

1. $2 — x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = -1$
2. $2 — x = -3 \quad \Rightarrow \quad x = 5$

Таким образом, точки пересечения:

$$(-1, 3) \quad \text{и} \quad (5, 3)$$

Ответ: $(-1; 3)$; $(5; 3)$

График функции:

График функции представляет собой букву «V» с вершиной в точке $(2, 0)$, где линия наклоняется вверх.

3) Функция $y = |2 — x| + |x — 3|$

Шаг 1: Координаты точек излома

Функция содержит два модуля, поэтому необходимо найти две точки излома:

1. $2 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$
2. $x — 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3$

При $x = 2$:

$$y = |2 — 2| + |2 — 3| = 0 + 1 = 1$$

При $x = 3$:

$$y = |2 — 3| + |3 — 3| = 1 + 0 = 1$$

Таким образом, координаты точек излома:

$$(2, 1) \quad \text{и} \quad (3, 1)$$

Шаг 2: Координаты некоторых точек

Для значений $x = 0$ и $x = 5$:

$$y = |2 — 0| + |0 — 3| = 2 + 3 = 5$$ $$y = |2 — 5| + |5 — 3| = 3 + 2 = 5$$

Получаем таблицу координат:

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x & 0 & 5 \\ \hline y & 5 & 5 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Точки пересечения с прямой $y = 3$

Решаем уравнение для нахождения точек пересечения с прямой $y = 3$:

$$|2 — x| + |x — 3| = 3$$

Рассмотрим три возможных случая:

Если $x > 3$ (то есть $x \geq 3$):

$$-(2 — x) + (x — 3) = 3 \quad \Rightarrow \quad 2x — 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Если $2 < x \leq 3$ (то есть $2 \leq x \leq 3$):

$$-(2 — x) — (x — 3) = 3 \quad \Rightarrow \quad 0x + 1 = 3 \quad \Rightarrow \quad \text{корней нет}$$

Если $x < 2$:

$$(2 — x) — (x — 3) = 3 \quad \Rightarrow \quad -2x + 5 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

Таким образом, точки пересечения:

$$(1, 3) \quad \text{и} \quad (4, 3)$$

Ответ: $(1; 3)$; $(4; 3)$

График функции:

График функции представляет собой линию с двумя точками излома в точках $(2, 1)$ и $(3, 1)$, с двумя отрезками, которые соединяются в этих точках.

Итог:

1. $y = 2 — |x|$: не пересекает прямую $y = 3$.
2. $y = |2 — x|$: пересекает прямую $y = 3$ в точках $(-1, 3)$ и $(5, 3)$.
3. $y = |2 — x| + |x — 3|$: пересекает прямую $y = 3$ в точках $(1, 3)$ и $(4, 3)$.