ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 824 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х значение производной функции f (х) = (х — 1) (х — 2) (х — 3) равно 11?

$$f(x) = (x — 1)(x — 2)(x — 3);$$ $$f(x) = (x^2 — 2x — x + 2)(x — 3);$$ $$f(x) = x^3 — 6x^2 + 11x — 6;$$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^3)’ — 6 \cdot (x^2)’ + (11x — 6)’;$$ $$f'(x) = 3x^2 — 6 \cdot 2x + 11;$$ $$f'(x) = 3x^2 — 12x + 11;$$

Производная равна 11 при:

$$3x^2 — 12x + 11 = 11;$$ $$3x^2 — 12x = 0;$$ $$3x(x — 4) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 4;$$

Ответ: 0; 4.

Дано:

$$f(x) = (x — 1)(x — 2)(x — 3)$$

Нужно найти производную этой функции и решить уравнение, при котором производная равна 11.

Шаг 1: Разложение функции на множители

Для начала представим функцию $f(x) = (x — 1)(x — 2)(x — 3)$ в более удобной форме для дифференцирования. Раскроем скобки, начиная с первых двух множителей:

$$f(x) = (x — 1)(x — 2)(x — 3)$$

Сначала раскроем скобки $(x — 1)(x — 2)$:

$$(x — 1)(x — 2) = x^2 — 2x — x + 2 = x^2 — 3x + 2$$

Теперь умножим полученное выражение $(x^2 — 3x + 2)$ на $(x — 3)$:

$$(x^2 — 3x + 2)(x — 3) = x^2(x — 3) — 3x(x — 3) + 2(x — 3)$$

Раскроем все скобки:

$$x^2(x — 3) = x^3 — 3x^2$$ $$-3x(x — 3) = -3x^2 + 9x$$ $$2(x — 3) = 2x — 6$$

Теперь соберем все эти части вместе:

$$f(x) = x^3 — 3x^2 — 3x^2 + 9x + 2x — 6 = x^3 — 6x^2 + 11x — 6$$

Таким образом, функция принимает вид:

$$f(x) = x^3 — 6x^2 + 11x — 6$$

Шаг 2: Находим производную функции $f(x)$

Теперь, когда мы представили функцию в более удобной форме, находим её производную. Для этого применим стандартные правила дифференцирования.

Функция:

$$f(x) = x^3 — 6x^2 + 11x — 6$$

Производная от $x^3$:

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)’ = n \cdot x^{n-1}$:

$$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

Производная от $-6x^2$:

Применяем то же правило:

$$\frac{d}{dx}(-6x^2) = -6 \cdot 2x = -12x$$

Производная от $11x$:

Для линейной функции производная равна коэффициенту перед $x$:

$$\frac{d}{dx}(11x) = 11$$

Производная от константы $-6$:

Производная от константы равна нулю:

$$\frac{d}{dx}(-6) = 0$$

Таким образом, производная функции будет:

$$f'(x) = 3x^2 — 12x + 11$$

Шаг 3: Находим значения $x$, при которых производная равна 11

Теперь, когда у нас есть производная $f'(x) = 3x^2 — 12x + 11$, решим уравнение, при котором эта производная равна 11:

$$3x^2 — 12x + 11 = 11$$

Шаг 4: Упростим уравнение

Вычитаем 11 из обеих частей:

$$3x^2 — 12x = 0$$

Шаг 5: Вынесем общий множитель

Вынесем общий множитель $3x$:

$$3x(x — 4) = 0$$

Шаг 6: Находим корни уравнения

Теперь решим это уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю:

1. $3x = 0$ даёт $x = 0$
2. $x — 4 = 0$ даёт $x = 4$

Ответ:

Корни уравнения, при которых производная равна 11:

$$x_1 = 0, \quad x_2 = 4$$

Таким образом, ответ: $0; 4$.