ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1366 Алимов — Подробные Ответы

1. sin 2x = 3 sin x cos2 x;
2. sin 4x = sin 2x,
3. cos 2x + cos2 x = 0;
4. sin 2x = cos2 x.

1)

$$\sin 2x = 3 \sin x \cdot \cos^2 x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — 3 \sin x \cdot \cos^2 x = 0;$$ $$\sin x \cdot \cos x \cdot (2 — 3 \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$2 — 3 \cos x = 0;$$ $$3 \cos x = 2;$$ $$\cos x = \frac{2}{3};$$ $$x = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pi n; \quad \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n.$$

2)

$$\sin 4x = \sin 2x;$$ $$2 \sin 2x \cdot \cos 2x — \sin 2x = 0;$$ $$\sin 2x \cdot (2 \cos 2x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x — 1 = 0;$$ $$2 \cos 2x = 1;$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi n}{2}; \quad \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

3)

$$\cos 2x + \cos^2 x = 0;$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x + \cos^2 x = 0;$$ $$2 \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) = 0;$$ $$3 \cos^2 x — 1 = 0;$$ $$3 \cos^2 x = 1;$$ $$\cos^2 x = \frac{1}{3};$$

Первое уравнение:

$$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n.$$

4)

$$\sin 2x = \cos^2 x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \sin x — \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$2 \operatorname{tg} x — 1 = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n.$$

1) Уравнение:

$$\sin 2x = 3 \sin x \cdot \cos^2 x$$

Шаг 1: Используем формулу удвоенного угла для синуса

Сначала вспомним, что $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$. Подставим это в исходное уравнение:

$$2 \sin x \cdot \cos x = 3 \sin x \cdot \cos^2 x$$

Шаг 2: Приводим уравнение к общему виду

Переносим все на одну сторону уравнения:

$$2 \sin x \cdot \cos x — 3 \sin x \cdot \cos^2 x = 0$$

Теперь можем вынести $\sin x \cdot \cos x$ как общий множитель:

$$\sin x \cdot \cos x \cdot (2 — 3 \cos x) = 0$$

Это уравнение можно разложить на три возможных случая.

Шаг 3: Разбор каждого случая

1. Первое уравнение: $\sin x = 0$

   Если $\sin x = 0$, то:

   $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это решение говорит нам, что $x$ будет равен целым кратным $\pi$.

2. Второе уравнение: $\cos x = 0$

   Если $\cos x = 0$, то:

   $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это решение означает, что $x$ будет равен $\frac{\pi}{2}$ плюс целое количество периодов $\pi$.

3. Третье уравнение: $2 — 3 \cos x = 0$

   Переносим все в одну сторону:

   $$3 \cos x = 2$$ $$\cos x = \frac{2}{3}$$

   Теперь находим углы, для которых косинус равен $\frac{2}{3}$:

   $$x = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это решение говорит о том, что $x$ будет равно углам, для которых косинус равен $\frac{2}{3}$, с добавлением периодов $2\pi$.

Ответ для уравнения 1:

$$x = \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) Уравнение:

$$\sin 4x = \sin 2x$$

Шаг 1: Используем формулу для разности синусов

Решение такого уравнения можно получить, используя формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Заменяем $A = 4x$ и $B = 2x$:

$$\sin 4x — \sin 2x = 0$$ $$2 \cos \left( \frac{4x + 2x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{4x — 2x}{2} \right) = 0$$ $$2 \cos 3x \cdot \sin x = 0$$

Шаг 2: Разбираем полученное уравнение

Мы получили два возможных случая:

1. Первое уравнение: $\sin x = 0$

   Если $\sin x = 0$, то:

   $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это решение уже знакомо.

2. Второе уравнение: $\cos 3x = 0$

   Если $\cos 3x = 0$, то:

   $$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это решение для $x$ выражается через добавление $\frac{\pi}{6}$ и целых кратных $\frac{\pi}{3}$.

Ответ для уравнения 2:

$$x = \pi n; \quad x = \frac{\pi n}{2}$$

3) Уравнение:

$$\cos 2x + \cos^2 x = 0$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Приведем все элементы к одному виду:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + \cos^2 x = 0$$ $$2 \cos^2 x — (1 — \cos^2 x) = 0$$ $$3 \cos^2 x — 1 = 0$$ $$3 \cos^2 x = 1$$ $$\cos^2 x = \frac{1}{3}$$

Теперь извлекаем корень из обеих частей уравнения:

$$\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 2: Решение уравнения

1. Первое уравнение: $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

   Это решение даёт:

   $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + 2\pi n$$

2. Второе уравнение: $\cos x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

   Это решение даёт:

   $$x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + 2\pi n$$

Ответ для уравнения 3:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4) Уравнение:

$$\sin 2x = \cos^2 x$$

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Используем формулу для $\sin 2x$, которая равна $2 \sin x \cdot \cos x$:

$$2 \sin x \cdot \cos x = \cos^2 x$$

Переносим все на одну сторону:

$$2 \sin x \cdot \cos x — \cos^2 x = 0$$

Вносим общий множитель $\cos x$:

$$\cos x \cdot (2 \sin x — \cos x) = 0$$

Шаг 2: Разбираем возможные случаи

1. Первое уравнение: $\cos x = 0$

   Если $\cos x = 0$, то:

   $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

   Это решение говорит, что $x$ будет равен $\frac{\pi}{2}$ плюс целые кратные $\pi$.

2. Второе уравнение: $2 \sin x — \cos x = 0$

   Делим обе части на $\cos x$:

   $$2 \operatorname{tg} x — 1 = 0$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$$

   Решение для тангенса:

   $$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ для уравнения 4:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$$

Итоговые ответы:

1. $x = \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \arccos \frac{2}{3} + 2\pi n$
2. $x = \pi n; \quad x = \frac{\pi n}{2}$
3. $x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n$
4. $x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n$