ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 757 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что график функции у = arccos х симметричен относительно точки (0;пи/2).

График функции $y = \operatorname{arccos} x$ симметричен относительно точки $\left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$.

Совершим такой параллельный перенос графика функции $y = \operatorname{arccos} x$, чтобы заданная точка симметрии совпала с началом координат:

$$y’ = \operatorname{arccos} x — \frac{\pi}{2};$$ $$y'(-x) = \operatorname{arccos}(-x) — \frac{\pi}{2} = \pi — \operatorname{arccos} x — \frac{\pi}{2} = -\operatorname{arccos} x + \frac{\pi}{2} = -y'(x);$$

Функция $y'(x)$ нечетная, следовательно первоначальная функция $y(x)$ симметрична относительно точки $\left( 0; \frac{\pi}{2} \right)$, что и требовалось доказать.

Доказать симметрию графика функции $y = \arccos x$ относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Что значит симметрия относительно точки?

График функции $y = f(x)$ симметричен относительно точки $(a; b)$, если при смещении системы координат так, чтобы точка $(a; b)$ стала началом координат, новая функция будет нечётной. То есть для новой функции $y’ = g(x)$ должно выполняться

$$g(-x) = -g(x).$$

Шаг 1: Определяем новую функцию с переносом

Для функции

$$y = \arccos x,$$

переносим график так, чтобы точка $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$ стала началом координат. Это значит, что новая функция

$$y’ = y — \frac{\pi}{2} = \arccos x — \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2: Проверяем, является ли функция $y’$ нечётной

Чтобы проверить нечётность, сравним значения $y'(-x)$ и $-y'(x)$.

Вычислим $y'(-x)$:

$$y'(-x) = \arccos(-x) — \frac{\pi}{2}.$$

Используем известное тригонометрическое тождество:

$$\arccos(-x) = \pi — \arccos x.$$

Это свойство следует из того, что косинус чётная функция: $\cos(-\theta) = \cos \theta$, а арккосинус убывает на $[-1,1]$.

Подставим в выражение для $y'(-x)$:

$$y'(-x) = \pi — \arccos x — \frac{\pi}{2} = \left( \pi — \frac{\pi}{2} \right) — \arccos x = \frac{\pi}{2} — \arccos x.$$

Вычислим $-y'(x)$:

$$-y'(x) = -\left( \arccos x — \frac{\pi}{2} \right) = -\arccos x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} — \arccos x.$$

Шаг 3: Сравниваем

$$y'(-x) = \frac{\pi}{2} — \arccos x = -y'(x).$$

Таким образом

$$y'(-x) = -y'(x),$$

что означает, что функция $y’$ является нечётной.

Шаг 4: Вывод

Так как функция $y’ = \arccos x — \frac{\pi}{2}$ нечётная, то её график симметричен относительно начала координат (0;0) новой системы координат.

Поскольку новая система координат получена сдвигом старой системы на точку $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, то график исходной функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

Итог:

График функции $y = \arccos x$ симметричен относительно точки $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.