ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 273 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/5(125);
2. log1/3(27);
3. log1/4(1/64);
4. log1/6(36).

1. $\log_{\frac{1}{5}} 125 = \log_{\frac{1}{5}} 5^{3} = \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^{-3} = -3$;
2. $\log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{\frac{1}{3}} 3^{3} = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} = -3$;
3. $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{4^{3}} = \log_{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{3} = 3$;
4. $\log_{\frac{1}{6}} 36 = \log_{\frac{1}{6}} 6^{2} = \log_{\frac{1}{6}} \left( \frac{1}{6} \right)^{-2} = -2$;

1) $\log_{\frac{1}{5}} 125$

Шаг 1: Представим $125$ как степень числа $5$. Мы знаем, что:

$$125 = 5^3$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{5}} 125 = \log_{\frac{1}{5}} 5^3$$

Шаг 3: Мы имеем основание логарифма $\frac{1}{5}$, а сам логарифм $5^3$. Чтобы продолжить, представим, что $5$ можно выразить через $\frac{1}{5}$. Заметим, что:

$$5 = \left( \frac{1}{5} \right)^{-1}$$

Следовательно:

$$5^3 = \left( \frac{1}{5} \right)^{-3}$$

Шаг 4: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{5}} 5^3 = \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^{-3}$$

Шаг 5: Используем свойство логарифмов: $\log_{a} a^x = x$. Применяем это свойство:

$$\log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^{-3} = -3$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{5}} 125 = -3$$

2) $\log_{\frac{1}{3}} 27$

Шаг 1: Представим $27$ как степень числа $3$. Мы знаем, что:

$$27 = 3^3$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{3}} 27 = \log_{\frac{1}{3}} 3^3$$

Шаг 3: Представим $3$ как степень числа $\frac{1}{3}$. Заметим, что:

$$3 = \left( \frac{1}{3} \right)^{-1}$$

Следовательно:

$$3^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^{-3}$$

Шаг 4: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{3}} 3^3 = \log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-3}$$

Шаг 5: Используем свойство логарифмов: $\log_{a} a^x = x$. Применяем это свойство:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{3} \right)^{-3} = -3$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$$

3) $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64}$

Шаг 1: Представим $\frac{1}{64}$ как степень числа $4$. Мы знаем, что:

$$64 = 4^3$$

Следовательно:

$$\frac{1}{64} = 4^{-3}$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = \log_{\frac{1}{4}} 4^{-3}$$

Шаг 3: Используем свойство логарифмов: $\log_{a} a^x = x$. Применяем это свойство:

$$\log_{\frac{1}{4}} 4^{-3} = -3$$

Шаг 4: Однако, в случае с основанием $\frac{1}{4}$, знак меняется на противоположный (так как основание меньше 1), то есть:

$$\log_{\frac{1}{4}} 4^{-3} = 3$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = 3$$

4) $\log_{\frac{1}{6}} 36$

Шаг 1: Представим $36$ как степень числа $6$. Мы знаем, что:

$$36 = 6^2$$

Шаг 2: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{6}} 36 = \log_{\frac{1}{6}} 6^2$$

Шаг 3: Представим $6$ как степень числа $\frac{1}{6}$. Заметим, что:

$$6 = \left( \frac{1}{6} \right)^{-1}$$

Следовательно:

$$6^2 = \left( \frac{1}{6} \right)^{-2}$$

Шаг 4: Подставим это в логарифм:

$$\log_{\frac{1}{6}} 6^2 = \log_{\frac{1}{6}} \left( \frac{1}{6} \right)^{-2}$$

Шаг 5: Используем свойство логарифмов: $\log_{a} a^x = x$. Применяем это свойство:

$$\log_{\frac{1}{6}} \left( \frac{1}{6} \right)^{-2} = -2$$

Ответ:

$$\log_{\frac{1}{6}} 36 = -2$$

Итоговые ответы:

1. $\log_{\frac{1}{5}} 125 = -3$
2. $\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$
3. $\log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{64} = 3$
4. $\log_{\frac{1}{6}} 36 = -2$