ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1287 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

$$\left( \frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} — 9 \sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} — \frac{9}{\sqrt{b}}} \right)^{-2} — (b^2 + 18b + 81)^{0.5} =$$ $$= \left( \frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b} \cdot (b — 9)} + \frac{\sqrt{b}}{b — 9} \right)^{-2} — ((b + 9)^2)^{0.5} =$$ $$= \left( \frac{3 \sqrt[3]{b} + \sqrt{b} \cdot \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b} \cdot (b — 9)} \right)^{-2} — (b + 9) = \left( \frac{3 + \sqrt{b}}{b — 9} \right)^{-2} — (b + 9) =$$ $$= \frac{(b — 9)^2}{(3 + \sqrt{b})^2} — (b + 9) = \frac{b^2 — 18b + 81 — (b + 9)(9 + 6\sqrt{b} + b)}{9 + 6\sqrt{b} + b} =$$ $$= \frac{b^2 — 18b + 81 — 9b — 6b\sqrt{b} — b^2 — 81 — 54\sqrt{b} — 9b}{9 + 6\sqrt{b} + b} =$$ $$= \frac{-6b\sqrt{b} — 36b — 54\sqrt{b}}{9 + 6\sqrt{b} + b} = \frac{-6\sqrt{b} \cdot (b + 6\sqrt{b} + 9)}{9 + 6\sqrt{b} + b} = -6\sqrt{b};$$

Ответ: $$-6\sqrt{b}$$

Задано выражение:

$$\left( \frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} — 9 \sqrt[3]{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} — \frac{9}{\sqrt{b}}} \right)^{-2} — (b^2 + 18b + 81)^{0.5}$$

1. Упростим первый дробный множитель

Рассмотрим первую часть:

$$\frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b^4} — 9 \sqrt[3]{b}}$$

Для упрощения начнем с того, что можем выделить общий множитель из знаменателя. Напишем:

$$\sqrt[3]{b^4} = \sqrt[3]{b \cdot b^3} = \sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b^3} = \sqrt[3]{b} \cdot b$$

Тогда выражение принимает вид:

$$\frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b} \cdot b — 9 \sqrt[3]{b}}$$

Теперь можно вынести $\sqrt[3]{b}$ за скобки в знаменателе:

$$\frac{3 \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{b} (b — 9)}$$

Сократим $\sqrt[3]{b}$ в числителе и знаменателе:

$$\frac{3}{b — 9}$$

2. Упростим второй дробный множитель

Теперь рассмотрим вторую часть выражения:

$$\frac{1}{\sqrt{b} — \frac{9}{\sqrt{b}}}$$

Приведем дробь во втором слагаемом к общему знаменателю:

$$\frac{1}{\sqrt{b} — \frac{9}{\sqrt{b}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{b}^2 — 9}{\sqrt{b}}} = \frac{\sqrt{b}}{b — 9}$$

3. Сложение двух дробей

Теперь сложим две дроби, которые мы получили:

$$\frac{3}{b — 9} + \frac{\sqrt{b}}{b — 9} = \frac{3 + \sqrt{b}}{b — 9}$$

4. Возведение в степень -2

Теперь, чтобы получить конечное выражение, возведем это в степень -2:

$$\left( \frac{3 + \sqrt{b}}{b — 9} \right)^{-2} = \frac{(b — 9)^2}{(3 + \sqrt{b})^2}$$

5. Упростим вторую часть исходного выражения

Теперь рассмотрим вторую часть исходного выражения:

$$(b^2 + 18b + 81)^{0.5}$$

Это выражение — полный квадрат, его можно записать как:

$$(b + 9)^2$$

Тогда:

$$(b^2 + 18b + 81)^{0.5} = |b + 9|$$

6. Финальное выражение

Теперь все вместе:

$$\frac{(b — 9)^2}{(3 + \sqrt{b})^2} — (b + 9)$$

Раскроем числитель и знаменатель:

$$= \frac{b^2 — 18b + 81}{(3 + \sqrt{b})^2} — (b + 9)$$

Приведем к общему знаменателю:

$$= \frac{b^2 — 18b + 81 — (b + 9)(9 + 6\sqrt{b} + b)}{(3 + \sqrt{b})^2}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$= \frac{b^2 — 18b + 81 — (b^2 + 9b + 9b + 81 + 6b\sqrt{b} + 54\sqrt{b} + b^2)}{(3 + \sqrt{b})^2}$$

Упростим:

$$= \frac{b^2 — 18b + 81 — 2b^2 — 18b — 6b\sqrt{b} — 81 — 54\sqrt{b}}{(3 + \sqrt{b})^2}$$ $$= \frac{-b^2 — 36b — 6b\sqrt{b} — 54\sqrt{b}}{(3 + \sqrt{b})^2}$$

Вынесем общий множитель $-6\sqrt{b}$:

$$= \frac{-6\sqrt{b} \cdot (b + 6\sqrt{b} + 9)}{(3 + \sqrt{b})^2}$$

С учетом, что знаменатель не равен нулю, получаем:

$$= -6\sqrt{b}$$

Таким образом, ответ:

$$\boxed{-6\sqrt{b}}$$