ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 183 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. корень (3-x)=2;
2. корень (3x+1) =8;
3. корень (3-4x) =2x;
4. корень (5x-1+3×2) = 3x;
5. корень 3 степени (x2-17) =2;
6. корень 4 степени (x2+17) =3.

1). $\sqrt{3 — x} = 2$;

$(\sqrt{3 — x})^2 = 2^2$;

$3 — x = 4$;

$-x = 1$;

$x = -1$;

Выражение имеет смысл при:

$3 — x \geq 0$;

$x \leq 3$;

Ответ: $x = -1$

2). $\sqrt{3x + 1} = 8$;

$(\sqrt{3x + 1})^2 = 8^2$;

$3x + 1 = 64$;

$3x = 63$;

$x = 21$;

Выражение имеет смысл при:

$3x + 1 \geq 0$;

$3x \geq -1$;

$x \geq -\frac{1}{3}$;

Ответ: $x = 21$

3). $\sqrt{3 — 4x} = 2x$;

$(\sqrt{3 — 4x})^2 = (2x)^2$;

$3 — 4x = 4x^2$;

$4x^2 + 4x — 3 = 0$;

$D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64$, тогда:

$x_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -1,5$;

$x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = 0,5$;

Выражение имеет смысл при:

$3 — 4x \geq 0$;

$4x \leq 3$;

$x \leq 0,75$;

Уравнение имеет решения при:

$2x \geq 0$;

$x \geq 0$;

Ответ: $x = 0,5$

4). $\sqrt{5x — 1 + 3x^2} = 3x$;

$(\sqrt{5x — 1 + 3x^2})^2 = (3x)^2$;

$5x — 1 + 3x^2 = 9x^2$;

$6x^2 — 5x + 1 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:

$x_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$;

$x_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$;

Выполним проверку:

$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{3} — 1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2} = 3 \cdot \frac{1}{3}$;

$\sqrt{\frac{5}{3} — 1 + \frac{1}{3}} — 1 = \sqrt{1} — 1 = 0$;

$\sqrt{5 \cdot \frac{1}{2} — 1 + 3 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)} — 3 \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{10}{4} — \frac{4}{4} + \frac{3}{4}} — \frac{3}{2} = \sqrt{\frac{9}{4}} — \frac{3}{2} = 0$;

Ответ: $x = \frac{1}{3}$; $x = \frac{1}{2}$

5). $\sqrt[3]{x^2 — 17} = 2$;

$(\sqrt[3]{x^2 — 17})^3 = 2^3$;

$x^2 — 17 = 8$;

$x^2 = 25$;

$x = \pm 5$;

Ответ: $x = \pm 5$

6). $\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$;

$(\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4$;

$x^2 + 17 = 81$;

$x^2 = 64$;

$x = \pm 8$;

Выражение имеет смысл при:

$x^2 + 17 \geq 0$;

$x^2 \geq -17$ — при любом $x$;

Ответ: $x = \pm 8$

1) $\sqrt{3 — x} = 2$

Шаг 1. Возведение в квадрат обеих частей уравнения:

$$(\sqrt{3 — x})^2 = 2^2$$

$$3 — x = 4$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$3 — x = 4$$

$$— x = 4 — 3$$

$$— x = 1$$

$$x = -1$$

Шаг 3. Проверка области допустимых значений (ОДЗ):
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3 — x \geq 0$$

$$x \leq 3$$

Так как найденное $x = -1$ удовлетворяет этому условию, оно является верным решением.

Ответ: $x = -1$

2) $\sqrt{3x + 1} = 8$

Шаг 1. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{3x + 1})^2 = 8^2$$

$$3x + 1 = 64$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$3x = 64 — 1$$

$$3x = 63$$

$$x = \frac{63}{3} = 21$$

Шаг 3. Проверка ОДЗ:

$$3x + 1 \geq 0$$

$$3x \geq -1$$

$$x \geq -\frac{1}{3}$$

Так как $x = 21$ удовлетворяет этому условию, оно является решением.

Ответ: $x = 21$

3) $\sqrt{3 — 4x} = 2x$

Шаг 1. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{3 — 4x})^2 = (2x)^2$$

$$3 — 4x = 4x^2$$

Шаг 2. Приведение к стандартному виду квадратного уравнения:

$$4x^2 + 4x — 3 = 0$$

Шаг 3. Вычисление дискриминанта:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3)$$

$$D = 16 + 48 = 64$$

Шаг 4. Нахождение корней:

$$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4}$$

$$x_1 = \frac{-4 — 8}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5$$

$$x_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$$

Шаг 5. Проверка ОДЗ:

$$3 — 4x \geq 0$$

$$4x \leq 3$$

$$x \leq 0.75$$

Дополнительно:

$$2x \geq 0$$

$$x \geq 0$$

Вывод:

$x = -1.5$ не удовлетворяет ОДЗ, но $x = 0.5$ подходит.

Ответ: $x = 0.5$

4) $\sqrt{5x — 1 + 3x^2} = 3x$

Шаг 1. Возведение в квадрат:

$$(\sqrt{5x — 1 + 3x^2})^2 = (3x)^2$$

$$5x — 1 + 3x^2 = 9x^2$$

Шаг 2. Приведение к квадратному уравнению:

$$6x^2 — 5x + 1 = 0$$

Шаг 3. Вычисление дискриминанта:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1$$

$$D = 25 — 24 = 1$$

Шаг 4. Нахождение корней:

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2 \cdot 6}$$

$$x_1 = \frac{5 — 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Шаг 5. Проверка решений:
Обе точки $x = \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ удовлетворяют уравнению.

Ответ: $x = \frac{1}{3}$, $x = \frac{1}{2}$

5) $\sqrt[3]{x^2 — 17} = 2$

Шаг 1. Возведение в куб:

$$(\sqrt[3]{x^2 — 17})^3 = 2^3$$

$$x^2 — 17 = 8$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$x^2 = 25$$

Шаг 3. Нахождение корней:

$$x = \pm 5$$

Ответ: $x = \pm 5$

6) $\sqrt[4]{x^2 + 17} = 3$

Шаг 1. Возведение в четвёртую степень:

$$(\sqrt[4]{x^2 + 17})^4 = 3^4$$

$$x^2 + 17 = 81$$

Шаг 2. Решение уравнения:

$$x^2 = 64$$

Шаг 3. Нахождение корней:

$$x = \pm 8$$

Шаг 4. Проверка ОДЗ:

$$x^2 + 17 \geq 0$$

$$x^2 \geq -17$$

Это верно при любых $x$, поэтому ограничений нет.

Ответ: $x = \pm 8$