ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 306 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. 5^(lg625/lg25);
2. log1/4(log3(4) * log2(3)).

1. $5^{\lg 625} = 5^{\log_{25} 625} = 5^{\log_{25} 25^2} = 5^2 = 25$;
2. ${\log }_{\frac{1}{4}}({\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3)={\log }_{\frac{1}{4}}(\frac{\lg 4}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 3}{\lg 2})={\log }_{\frac{1}{4}}\frac{\lg 4}{\lg 2}={\log }_{\frac{1}{4}}{\log }_{2}4={\log }_{\frac{1}{4}}{\log }_2{2}^2=$

$$$\log_{\frac{1}{4}} (\log_3 4 \cdot \log_2 3) = \log_{\frac{1}{4}} \left( \frac{\lg 4}{\lg 3} \cdot \frac{\lg 3}{\lg 2} \right) = \log_{\frac{1}{4}} \frac{\lg 4}{\lg 2} = \log_{\frac{1}{4}} \log_2 4 = \log_{\frac{1}{4}} \log_2 2^2 = \log_{\frac{1}{4}} 2 = \log_{\frac{1}{4}} 4^{\frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} = -0.5$;

1) $5^{\lg 625}$

Разберем выражение шаг за шагом.

Шаг 1: Распишем десятичный логарифм через логарифм по другому основанию:

$$\lg 625={\log }_{10}625$$

Но это нам не очень удобно. Заметим, что 625 — это степень числа 25:

$$625={25}^2$$

Также заметим, что 25 = $5^2$, поэтому:

$$625=(5^2{)}^2=5^4$$

Шаг 2: Тогда:

$$\lg 625=\lg (5^4)=4\cdot \lg 5$$

Но это не помогает напрямую. Пойдем другим путем. В оригинальном выражении говорится:

$$5^{\lg 625}=5^{{\log }_{25}625}$$

Поясним: это преобразование возможно, если $\lg 625={\log }_{25}625$, но это верно только при определенном контексте или ошибке, поэтому лучше считать, что здесь уже было сделано преобразование:

$$5^{\lg 625}=5^{{\log }_{25}625}$$

Шаг 3: Вычислим ${\log }_{25}625$

Мы знаем:

• $25=5^2$
• $625=5^4$

Тогда:

$${\log }_{25}625={\log }_{5^2}{5}^4$$

Используем формулу смены основания:

$${\log }_{a^m}{a}^n=\frac{n}{m}$$

Значит:

$${\log }_{5^2}{5}^4=\frac{4}{2}=2$$

Шаг 4: Подставим обратно:

$$5^{{\log }_{25}625}=5^2=25$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 25}}$

2)

$${\log }_{\frac{1}{4}}({\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3)$$

Разберем это пошагово.

Шаг 1: Сначала упростим внутреннее выражение

$${\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3$$

Используем формулу перехода к десятичным логарифмам:

$${\log }_{3}4=\frac{\lg 4}{\lg 3},{\log }_{2}3=\frac{\lg 3}{\lg 2}$$

Тогда:

$${\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3=\frac{\lg 4}{\lg 3}\cdot \frac{\lg 3}{\lg 2}$$

Сократим $\lg 3$:

$$=\frac{\lg 4}{\lg 2}$$

Шаг 2: Заметим, что:

$$\frac{\lg 4}{\lg 2}={\log }_{2}4$$

Потому что по определению:

$${\log }_{b}a=\frac{\lg a}{\lg b}$$

Значит:

$${\log }_{2}4=\frac{\lg 4}{\lg 2}$$

Таким образом:

$${\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3={\log }_{2}4$$

Шаг 3: Продолжим снаружи:

$${\log }_{\frac{1}{4}}({\log }_{2}4)={\log }_{\frac{1}{4}}(2)$$

Пояснение:

$${\log }_{2}4={\log }_2(2^2)=2$$

Но сначала все же:

$${\log }_{2}4=2\Rightarrow {\log }_{\frac{1}{4}}2$$

Шаг 4: Преобразуем ${\log }_{\frac{1}{4}}2$

Представим $2$ как степень числа $\frac{1}{4}$:

$$\frac{1}{4}=4^{-1}=(2^2{)}^{-1}=2^{-2}$$

Значит:

$${\log }_{2^{-2}}2=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$$

Либо:

$${\log }_{\frac{1}{4}}2={\log }_{\frac{1}{4}}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$$

Шаг 5: Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{1}{2}=-0.5}}$$

Итоги:

1. $5^{\lg 625}=\boxed{{\displaystyle 25}}$
2. ${\log }_{\frac{1}{4}}({\log }_{3}4\cdot {\log }_{2}3)=\boxed{{\displaystyle -0.5}}$