ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1402 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^(-x+5) < 1/4;
2. (1/3)|x-2| > 1/27.

1. $2^{-x+5} < \frac{1}{4};$
   $2^{-x+5} < 2^{-2};$
   $-x + 5 < -2;$
   $-x < -7;$
   $x > 7;$
   Ответ: $x > 7.$
2. $\left( \frac{1}{3} \right)^{|x-2|} > \frac{1}{27};$
   $\left( \frac{1}{3} \right)^{|x-2|} > \left( \frac{1}{3} \right)^3;$
   $|x-2| < 3;$

Число под знаком модуля:
$x — 2 \geq 0;$
$x \geq 2;$

Если $x \geq 2$, тогда:
$x — 2 < 3;$
$x < 5;$

Если $x < 2$, тогда:
$-(x — 2) < 3;$
$-x + 2 < 3;$
$-x < 1;$
$x > -1;$

Ответ: $-1 < x < 5.$

1) Решить неравенство

$$2^{-x+5} \;<\; \frac14$$

Шаг 1. Приводим правую часть к той же основе

$$\frac14 \;=\; 4^{-1} \;=\; (2^2)^{-1} \;=\; 2^{-2}.$$

После подстановки:

$$2^{-x+5} \;<\; 2^{-2}.$$

Шаг 2. Сравниваем показатели при основании $2>1$

Для $a>1$ выполняется правило
$a^{f} < a^{g} \;\Longleftrightarrow\; f<g$.

Поэтому

$$-\,x + 5 \;<\; -2.$$

Шаг 3. Решаем линейное неравенство

1. Вычитаем 5:

   $$-\,x \;<\; -7.$$

2. Делим на $-1$ (при делении на отрицательное число знак меняется):

   $$x \;>\; 7.$$

Итог

$$\boxed{\,x>7\,}.$$

2) Решить неравенство

$$\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{|x-2|} \;>\; \frac1{27}.$$

Шаг 1. Приводим правую часть к той же основе

$$\frac1{27} \;=\; 27^{-1} \;=\; (3^3)^{-1} \;=\; 3^{-3} \;=\; \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{3}.$$

Получаем

$$\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{|x-2|} \;>\; \Bigl(\tfrac13\Bigr)^{3}.$$

Шаг 2. Сравниваем показатели при основании $0<\tfrac13<1$

Для $0<a<1$ действует противоположное правило:
$a^{f} > a^{g} \;\Longleftrightarrow\; f<g$.

Отсюда

$$|x-2| \;<\; 3.$$

Шаг 3. Снимаем модуль

Неравенство $|x-2|<3$ означает, что выражение $x-2$ лежит между $-3$ и $3$:

$$-3 \;<\; x-2 \;<\; 3.$$

Добавим 2 ко всем частям:

$$-1 \;<\; x \;<\; 5.$$

Проверка «по слоям» (пошаговое раскрытие модуля)
Для полноты покажем классическое разбиение:

Объединяем промежутки:

$$-1 < x < 5.$$

Итог

$$\boxed{-1\,<\,x\,<\,5}.$$

Ответы:

1. $x>7$;
2. $-1<x<5$.