ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 645 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

1) система

cos(x+y) =0,

cos(x-y)=1;

2) система

sinx — siny=1,

sin2x+cos2y=1.

1)

$$\begin{cases} \cos(x + y) = 0; \\ \cos(x — y) = 1; \end{cases}$$

Решение:

$$\begin{aligned} & x + y = \arccos 0 + \pi n \quad \Rightarrow \quad x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n; \\ & x — y = \arccos 1 + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x — y = 2\pi n. \end{aligned}$$

Найдем значение переменной $y$:

$$y = \frac{\pi}{2} + \pi n — y — 2\pi n;$$ $$2y = \frac{\pi}{2} — \pi n;$$ $$y = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} — \pi n \right) = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi n}{2}.$$

Найдем значение переменной $x$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n — y = \frac{\pi}{2} + \pi n — \left( \frac{\pi}{4} — \frac{\pi n}{2} \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}; \quad y = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi n}{2}.$$

2)

$$\begin{cases} \sin x — \sin y = 1; \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1; \end{cases}$$

Решение:

$$\sin x = 1 + \sin y;$$

Теперь подставим значение $\sin x$ в уравнение:

$$1 + \sin y — \sin y = (1 + \sin y)^2 + \cos^2 y;$$ $$1 = 1 + 2\sin y + \sin^2 y + \cos^2 y;$$

Используя тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$, получаем:

$$1 = 1 + 2\sin y + 1;$$ $$1 + 2\sin y + 1 — 1 = 0.$$

Теперь решаем:

$$2\sin y + 1 = 0;$$ $$2\sin y = -1;$$ $$\sin y = -\frac{1}{2}.$$

Для $\sin y = -\frac{1}{2}$, находим $y$:

$$y = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Теперь находим значение $x$:

$$\sin x = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n;y=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n\mathrm{.}$$

1) Система уравнений:

$$\begin{cases} \cos(x + y) = 0, \\ \cos(x — y) = 1. \end{cases}$$

Шаг 1: Решаем первое уравнение.

Начнем с первого уравнения:

$$\cos(x + y) = 0.$$

Значение косинуса равно нулю, когда его аргумент — это нечетные множители $\frac{\pi}{2}$. То есть:

$$x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Это дает нам выражение для $x + y$:

$$x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Шаг 2: Решаем второе уравнение.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$\cos(x — y) = 1.$$

Косинус равен единице, когда его аргумент равен целому числу $2\pi$. То есть:

$$x — y = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}.$$

Это дает нам выражение для $x — y$:

$$x — y = 2\pi m.$$

Шаг 3: Решаем систему.

Теперь у нас есть система двух уравнений:

$$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{2} + \pi n, \\ x — y = 2\pi m. \end{cases}$$

Для того, чтобы выразить $y$, сложим два уравнения:

$$(x + y) + (x — y) = \left(\frac{\pi}{2} + \pi n\right) + 2\pi m.$$

Упростим левую часть:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n + 2\pi m.$$

Теперь выразим $x$:

$$x = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \pi n + 2\pi m\right) = \frac{\pi}{4} + \pi n + \pi m.$$

Далее, из второго уравнения системы:

$$x — y = 2\pi m.$$

Подставим найденное значение $x$:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n + \pi m — y = 2\pi m.$$

Упростим:

$$y = \frac{\pi}{4} + \pi n + \pi m — 2\pi m = \frac{\pi}{4} + \pi n — \pi m.$$

Ответ для первой задачи:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi n}{2}, \quad y = \frac{\pi}{4} — \frac{\pi n}{2}.$$

2) Система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x — \sin y = 1, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 1. \end{cases}$$

Шаг 1: Из первого уравнения выражаем $\sin x$.

Из первого уравнения:

$$\sin x — \sin y = 1.$$

Перепишем это выражение для $\sin x$:

$$\sin x = 1 + \sin y.$$

Шаг 2: Подставляем выражение для $\sin x$ во второе уравнение.

Теперь подставим $\sin x = 1 + \sin y$ во второе уравнение:

$$\sin^2 x + \cos^2 y = 1.$$

Используем $\sin x = 1 + \sin y$:

$$(1 + \sin y)^2 + \cos^2 y = 1.$$

Раскроем скобки:

$$1 + 2\sin y + \sin^2 y + \cos^2 y = 1.$$

Теперь используем тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$:

$$1 + 2\sin y + 1 = 1.$$

Упростим:

$$2 + 2\sin y = 1.$$

Переносим все на одну сторону:

$$2\sin y = -1.$$

Делим обе стороны на 2:

$$\sin y = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Находим значение $y$.

Мы знаем, что $\sin y = -\frac{1}{2}$ имеет два возможных решения на интервале $[0, 2\pi)$. Эти значения равны:

$$y = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad y = \pi — \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для $y$:

$$y = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 4: Находим значение $x$.

Теперь решим для $x$. Из первого уравнения мы знаем, что:

$$\sin x = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

Тогда:

$$x = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \pi — \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для $x$:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ для второй задачи:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad y = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$