ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 434 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1. 3 sin пи/6 + 2cos пи/6 — tg пи/3;
2. 5sin пи/4 + 3tg пи/4 — 5cos пи/4 — 10ctg пи/4;
3. (2tg пи/6-tg пи/3):cos пи/6;
4. sin пи/3 * cos пи/6 — tg пи/4.

$\mathrm{1.\; 3}\sin \frac{\pi }{6}+2\cos \frac{\pi }{6}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=1,5+\sqrt{3}-\sqrt{3}=1,5$;

$\mathrm{2.\; 5}\sin \frac{\pi }{4}+3\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}-5\cos \frac{\pi }{4}-10\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot 1-5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-10\cdot 1=3-10=-7$;

$3.\; (2\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}):\cos \frac{\pi }{6}=(2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}):\frac{\sqrt{3}}{2}=(\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3})\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=$

$=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}-2=\frac{4}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}$;

$\mathrm{4.\; sin}\frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{3}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{1}{4}=-0,25$

1)

$$3\sin \frac{\pi }{6}+2\cos \frac{\pi }{6}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}$$

Шаг 1. Найдём значения тригонометрических функций:

• $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$
  (половина угла в 30°, синус равен 0.5)
• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$
  (косинус 30°)
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,732$
  (тангенс 60°)

Шаг 2. Подставляем в выражение:

$$3\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Считаем каждое слагаемое:

• $3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}=1,5$
• $2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
• Значит выражение равно:

$$1,5+\sqrt{3}-\sqrt{3}=1,5.$$

Ответ к пункту 1:

$$1,5.$$

2)

$$5\sin \frac{\pi }{4}+3\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}-5\cos \frac{\pi }{4}-10\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}$$

Шаг 1. Найдём значения функций:

• $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ (тангенс 45°)
• $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,707$
• $\mathrm{ctg}\frac{\pi }{4}=1$ (котангенс 45°)

Шаг 2. Подставляем значения:

$$5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+3\cdot 1-5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-10\cdot 1.$$

Шаг 3. Считаем по частям:

• $5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• $3\cdot 1=3$
• $5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
• $10\cdot 1=10$

Шаг 4. Сложим и вычтем:

$$\frac{5\sqrt{2}}{2}+3-\frac{5\sqrt{2}}{2}-10=3-10=-7.$$

Ответ к пункту 2:

$$-7.$$

3)

$$(2\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}):\cos \frac{\pi }{6}$$

Шаг 1. Найдём значения функций:

• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0,577$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{3}=\sqrt{3}\approx 1,732$
• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$

Шаг 2. Подставим значения в числитель:

$$2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Преобразуем знаменатель:

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную:

$$(\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}):\frac{\sqrt{3}}{2}=(\frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3})\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}-2.$$

Пояснение:

• $\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3}$ (умножение дробей с иррациональными знаменателями)
• $\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2$ (корни сокращаются)

Шаг 6. Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{4}{3}-2=\frac{4}{3}-\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

Ответ к пункту 3:

$$-\frac{2}{3}\mathrm{.}$$

4)

$$\sin \frac{\pi }{3}\cdot \cos \frac{\pi }{6}-\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$$

Шаг 1. Найдём значения функций:

• $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$
• $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866$
• $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$

Шаг 2. Перемножим синус и косинус:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Вычтем тангенс:

$$\frac{3}{4}-1=\frac{3}{4}-\frac{4}{4}=-\frac{1}{4}=-0,25.$$

Ответ к пункту 4:

$$-0,25.$$