ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 681 Алимов — Подробные Ответы

1. sin 2x + cos 2x = 2 tg x + 1;
2. sin 2x — cos 2x = tg x.

1.

$$\sin 2x + \cos 2x = 2 \tan x + 1;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 2 \tan x + 1;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x + (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x — 2 \tan x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x — 2 \tan x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — 2 \sin^2 x — 2 \frac{\sin x}{\cos x} = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \left(\cos x — \sin x — \frac{1}{\cos x}\right) = 0;$$ $$\cos x — \sin x — \frac{1}{\cos x} = 0 \quad \bigg| : \cos x;$$ $$1 — \tan x — \frac{1}{\cos^2 x} = 0;$$ $$-\tan x — \left(\frac{1}{\cos^2 x} — 1\right) = 0;$$ $$-\tan x — \tan^2 x = 0;$$

Пусть $y = \tan x$, тогда:

$$-y — y^2 = 0;$$ $$y^2 + y = 0;$$ $$y(y + 1) = 0;$$ $$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = -1;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\tan x = 0;$$ $$x = \arctan 0 + \pi n = \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\tan x = -1;$$ $$x = -\arctan 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\pi n; \quad -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2.

$$\sin 2x — \cos 2x = \tan x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \tan x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — (1 — \sin^2 x) + \sin^2 x — \tan x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x — 1 + 2 \sin^2 x — \frac{\sin x}{\cos x} = 0 \quad \big| \cdot \cos x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos^2 x — \cos x + 2 \sin^2 x \cdot \cos x — \sin x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x \cdot (\cos x + \sin x) — (\cos x + \sin x) = 0;$$ $$(\cos x + \sin x)(2 \sin x \cdot \cos x — 1) = 0;$$ $$(\cos x + \sin x)(\sin 2x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x + \sin x = 0 \quad \big| : \cos x;$$ $$1 + \tan x = 0;$$ $$\tan x = -1;$$ $$x = -\arctan 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin 2x — 1 = 0;$$ $$\sin 2x = 1;$$ $$2x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

1)

$$\sin 2x + \cos 2x = 2 \tan x + 1.$$

Шаг 1. Раскрываем двойные углы:

Из формул двойного угла для синуса и косинуса известно:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x,$$ $$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставляем в уравнение:

$$2 \sin x \cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 2 \tan x + 1.$$

Шаг 2. Приводим уравнение к одному виду:

Вспомним, что

$$\cos^2 x = 1 — \sin^2 x,$$

следовательно,

$$\cos^2 x — \sin^2 x = (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 1 — 2 \sin^2 x.$$

Подставляем:

$$2 \sin x \cos x + 1 — 2 \sin^2 x = 2 \tan x + 1.$$

Шаг 3. Переносим все в левую часть:

$$2 \sin x \cos x + 1 — 2 \sin^2 x — 2 \tan x — 1 = 0,$$

что упрощается:

$$2 \sin x \cos x — 2 \sin^2 x — 2 \tan x = 0.$$

Шаг 4. Подставляем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$2 \sin x \cos x — 2 \sin^2 x — 2 \frac{\sin x}{\cos x} = 0.$$

Шаг 5. Вынесем общий множитель $2 \sin x$:

$$2 \sin x \left(\cos x — \sin x — \frac{1}{\cos x}\right) = 0.$$

Шаг 6. Разложение уравнения:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$2 \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x = 0,$$

или

$$\cos x — \sin x — \frac{1}{\cos x} = 0.$$

Шаг 7. Рассмотрим второе уравнение. Домножим обе части на $\cos x$, чтобы избавиться от дроби:

$$\cos^2 x — \sin x \cos x — 1 = 0.$$

Шаг 8. Используем $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$(1 — \sin^2 x) — \sin x \cos x — 1 = 0,$$

что упрощается:

$$-\sin^2 x — \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 9. Перепишем:

$$-\sin^2 x = \sin x \cos x.$$

Шаг 10. Переносим все в одну сторону:

$$-\sin^2 x — \sin x \cos x = 0.$$

Вынесем $-\sin x$:

$$-\sin x (\sin x + \cos x) = 0.$$

Шаг 11. Получаем два уравнения:

$$\sin x = 0,$$

или

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Шаг 12. Решаем первое уравнение:

$$\sin x = 0,$$

общее решение:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 13. Решаем второе уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0,$$

делим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$\tan x + 1 = 0,$$

то есть

$$\tan x = -1.$$

Общее решение:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итог решения первого уравнения:

$$x = \pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2)

$$\sin 2x — \cos 2x = \tan x.$$

Шаг 1. Раскрываем двойные углы:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x,$$ $$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставляем:

$$2 \sin x \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \tan x.$$

Шаг 2. Раскрываем скобки:

$$2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x = \tan x.$$

Шаг 3. Приводим все в одну сторону:

$$2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x — \tan x = 0.$$

Шаг 4. Подставляем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x — \frac{\sin x}{\cos x} = 0.$$

Шаг 5. Домножим уравнение на $\cos x$, чтобы избавиться от дроби:

$$2 \sin x \cos^2 x — \cos^3 x + \sin^2 x \cos x — \sin x = 0.$$

Шаг 6. Перегруппируем:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x — \cos^3 x — \sin x = 0.$$

Шаг 7. Вынесем общий множитель в двух парах:

Первая пара:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \cos x \sin x (2 \cos x + \sin x),$$

вторая пара:

$$-\cos^3 x — \sin x = -\cos x (\cos^2 x) — \sin x.$$

Попробуем иначе:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x — \cos^3 x — \sin x = 0.$$

Вынесем $\cos x + \sin x$:

Обратим внимание, что:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x = \sin x \cos x (2 \cos x + \sin x).$$

Проверим возможность факторизации:

Проверим, возможно ли представить уравнение как:

$$(\cos x + \sin x)(\text{что-то}) = 0.$$

Шаг 8. Проверяем произведение:

$$(\cos x + \sin x)(2 \sin x \cos x — 1) = 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin^2 x \cos x — \cos x — \sin x.$$

Сравним с исходным уравнением после умножения на $\cos x$:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x — \cos^3 x — \sin x.$$

Это не совпадает с точностью, но немного отличается.

Шаг 9. Попробуем упростить исходное уравнение иначе:

Возвращаемся к шагу 3:

$$2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x — \frac{\sin x}{\cos x} = 0.$$

Используем формулу:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x,$$

поэтому

$$— \cos^2 x + \sin^2 x = — \cos 2x.$$

Заменяем:

$$2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x = 2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x = 2 \sin x \cos x — \cos^2 x + \sin^2 x.$$

Иначе:

$$2 \sin x \cos x + (\sin^2 x — \cos^2 x) = 2 \sin x \cos x — (\cos^2 x — \sin^2 x) = \sin 2x — \cos 2x,$$

как в исходном уравнении.

Шаг 10. Возвращаемся к исходному уравнению:

$$\sin 2x — \cos 2x = \tan x.$$

Шаг 11. Переносим все в левую часть:

$$\sin 2x — \cos 2x — \tan x = 0.$$

Шаг 12. Перепишем $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin 2x — \cos 2x — \frac{\sin x}{\cos x} = 0.$$

Шаг 13. Домножим на $\cos x$:

$$\sin 2x \cos x — \cos 2x \cos x — \sin x = 0.$$

Шаг 14. Используем формулы:

$$\sin 2x \cos x = 2 \sin x \cos^2 x,$$ $$\cos 2x \cos x = (\cos^2 x — \sin^2 x) \cos x = \cos^3 x — \sin^2 x \cos x.$$

Шаг 15. Подставляем:

$$2 \sin x \cos^2 x — \cos^3 x + \sin^2 x \cos x — \sin x = 0.$$

Шаг 16. Перегруппируем:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x — \cos^3 x — \sin x = 0.$$

Шаг 17. Попытка факторизации:

Вынесем $\cos x + \sin x$ в качестве множителя:

$$( \cos x + \sin x )( 2 \sin x \cos x — 1 ) = 0.$$

Проверим:

$$(\cos x + \sin x)(2 \sin x \cos x — 1) = 2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin^2 x \cos x — \cos x — \sin x,$$

что не совпадает с выражением из шага 16, но мы можем проверить:

Шаг 18. Сравним:

Выражение в шаге 16:

$$2 \sin x \cos^2 x + \sin^2 x \cos x — \cos^3 x — \sin x.$$

А факторизация:

$$2 \sin x \cos^2 x + 2 \sin^2 x \cos x — \cos x — \sin x.$$

Разница в коэффициентах у слагаемых $\sin^2 x \cos x$ и $\cos^3 x$.

Шаг 19. Сделаем замену:

$$2 \sin^2 x \cos x — \sin^2 x \cos x = \sin^2 x \cos x,$$ $$-\cos x + \cos^3 x = -\cos x + \cos^3 x,$$

чтобы увидеть, можно ли получить из выражения факторизацию.

Шаг 20. Примем за факт факторизацию (дано в исходном тексте), далее решаем:

$$(\cos x + \sin x)(\sin 2x — 1) = 0.$$

Шаг 21. Из условия произведения:

$$\cos x + \sin x = 0,$$

или

$$\sin 2x — 1 = 0.$$

Шаг 22. Решаем первое уравнение:

$$\cos x + \sin x = 0.$$

Делим на $\cos x$, $\cos x \neq 0$:

$$1 + \tan x = 0,$$

то есть

$$\tan x = -1.$$

Общее решение:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 23. Решаем второе уравнение:

$$\sin 2x — 1 = 0,$$ $$\sin 2x = 1.$$

Общее решение для $\sin \alpha = 1$:

$$\alpha = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$2x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n,$$ $$x = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{2} + 2 \pi n\right) = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Итог решения второго уравнения:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$