ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1284 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

$$\frac{a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1}}{\frac{5}{3}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}} =$$ $$= \frac{a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} \cdot \left(a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}\right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} =$$ $$= \frac{a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1} — a^{-\frac{4}{3}}b^{-\frac{5}{3}} + a^{-\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}}}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} =$$ $$= \frac{a^{-1}b^{-2} + a^{-\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} — \left(a^{-2}b^{-1} + a^{-\frac{4}{3}}b^{-\frac{5}{3}}\right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} =$$ $$= \frac{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right) — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} \cdot \left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} =$$ $$= \frac{\left(a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}\right)\left(a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}};$$

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

Исходное выражение:

$$\frac{a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1}}{\frac{5}{3}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} — \frac{1}{a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}}}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель и знаменатель

Числитель:
Числитель состоит из двух частей: $a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1}$. Мы оставим его как есть на первом этапе, так как он уже достаточно прост.

Знаменатель:
Знаменатель состоит из выражения $\frac{5}{3}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}$. Мы заметим, что оба слагаемых имеют показатели отрицательных степеней, но их необходимо привести к общему виду.

Шаг 2: Объединение и упрощение

Теперь перепишем выражение так, чтобы сэкономить шаги в дальнейшем:

$$\frac{a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1} — a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} \cdot \left( a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} \right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}}$$

Шаг 3: Упрощение внутреннего произведения

Теперь разберем выражение в числителе:

$$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} \cdot \left( a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} \right)$$

Внутреннее произведение:
Распишем по степеням:

$$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} = a^{\frac{1}{3} — \frac{5}{3}} b^{\frac{1}{3} — 2} = a^{-\frac{4}{3}} b^{-\frac{5}{3}}$$ $$a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} \cdot (-b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}) = -a^{\frac{1}{3} — 2} b^{\frac{1}{3} — \frac{5}{3}} = -a^{-\frac{5}{3}} b^{-\frac{4}{3}}$$

Теперь подставим эти упрощения в числитель:

$$a^{-1}b^{-2} — a^{-2}b^{-1} — a^{-\frac{4}{3}}b^{-\frac{5}{3}} + a^{-\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}}$$

Шаг 4: Группировка и упрощение числителя

Группируем термины по подобию:

$$\left( a^{-1}b^{-2} + a^{-\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} \right) — \left( a^{-2}b^{-1} + a^{-\frac{4}{3}}b^{-\frac{5}{3}} \right)$$

Шаг 5: Вынесение общего множителя

Теперь заметим, что в каждой группе есть общий множитель, который можно вынести. Рассмотрим первую группу:

$$a^{-1}b^{-2} + a^{-\frac{5}{3}}b^{-\frac{4}{3}} = a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} \cdot \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)$$

Для второй группы:

$$a^{-2}b^{-1} + a^{-\frac{4}{3}}b^{-\frac{5}{3}} = b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} \cdot \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)$$

Таким образом, числитель можно записать в виде:

$$\left( a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} \right) \cdot \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)$$

Шаг 6: Упрощение знаменателя

Знаменатель остается без изменений:

$$a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}$$

Шаг 7: Сокращение

Теперь числитель и знаменатель имеют одинаковый множитель $a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}$, который можно сократить:

$$\frac{\left( a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2} \right) \cdot \left( a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} \right)}{a^{-\frac{5}{3}}b^{-2} — b^{-\frac{5}{3}}a^{-2}} = a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$$

Ответ:

$$a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$$