ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 617 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. arctg(сtg 5пи/6);
2. arctg(сtg 3пи/4);
3. arctg(2sin 5пи/6);
4. arctg(2sin пи/3).

1. $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{6}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\right)\right) = \operatorname{arctg}\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3};$
2. $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right) = \operatorname{arctg}\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4};$
3. $\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{5\pi}{6}\right) = \operatorname{arctg}\left(2 \sin\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right)\right) = \operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{\pi}{6}\right) = \operatorname{arctg}\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) = \operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4};$
4. $\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{arctg}\left(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3};$

Пример 1: $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{6}\right)$

1.1. Разложение угла $\frac{5\pi}{6}$

• Начнем с того, что $\frac{5\pi}{6}$ — это угол, находящийся в второй четверти (между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$).
• Также мы знаем, что $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$, то есть котангенс — это обратная величина тангенса.

1.2. Преобразование угла через $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}$

• Угол $\frac{5\pi}{6}$ можно выразить как $\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}$, так как:

  $$\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

• Используя формулу для котангенса суммы углов:

  $$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x,$$

  мы получаем:

  $$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}.$$

1.3. Применение арктангенса

• Теперь, подставляем это в исходное выражение:

  $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{6}\right) = \operatorname{arctg}\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right).$$

• Так как $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$ для $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, и $\frac{\pi}{3}$ лежит в этом интервале, то:

  $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}.$$

• Поскольку знак минус, получаем:

  $$\operatorname{arctg}\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

1.4. Ответ:

$$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\pi}{3}.$$

Пример 2: $\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4}\right)$

2.1. Разложение угла $\frac{3\pi}{4}$

• Угол $\frac{3\pi}{4}$ находится в третьей четверти, то есть между $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.
• Опять используем ту же формулу для котангенса, что и в предыдущем примере, и представим $\frac{3\pi}{4}$ как сумму углов:

  $$\frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}.$$

2.2. Преобразование котангенса

• По формуле для котангенса суммы:

  $$\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{tg} x,$$

  получаем:

  $$\operatorname{ctg} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}.$$

2.3. Применение арктангенса

• Теперь, подставляем это в исходное выражение:

  $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4}\right) = \operatorname{arctg}\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right).$$

• Поскольку $\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x$, и $\frac{\pi}{4}$ лежит в пределах интервала $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$, то:

  $$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}.$$

• С учетом минуса:

  $$\operatorname{arctg}\left(-\operatorname{tg} \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}.$$

2.4. Ответ:

$$\operatorname{arctg}\left(\operatorname{ctg} \frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\pi}{4}.$$

Пример 3: $\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{5\pi}{6}\right)$

3.1. Разложение угла $\frac{5\pi}{6}$

• $\frac{5\pi}{6}$ — это угол во второй четверти, между $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$.
• Мы знаем, что:

  $$\sin\left(\pi — x\right) = \sin x.$$

  Таким образом:

  $$\sin \frac{5\pi}{6} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

3.2. Применение арктангенса

• Теперь подставляем это значение в исходное выражение:

  $$\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{5\pi}{6}\right) = \operatorname{arctg}\left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) = \operatorname{arctg} 1.$$

• $\operatorname{arctg} 1$ — это известное значение:

  $$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}.$$

3.3. Ответ:

$$\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{4}.$$

Пример 4: $\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{\pi}{3}\right)$

4.1. Разложение угла $\frac{\pi}{3}$

• $\frac{\pi}{3}$ — это угол в первой четверти, и его синус равен:

  $$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

4.2. Применение арктангенса

• Теперь подставляем это значение в исходное выражение:

  $$\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{arctg}\left(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \operatorname{arctg} \sqrt{3}.$$

• $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$ — это также известное значение:

  $$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

4.3. Ответ:

$$\operatorname{arctg}\left(2 \sin \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{3}.$$