ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 265 Алимов — Подробные Ответы

1. 3^|x-2| < 9;
2. 4^|x+1| > 16;
3. 2^|x-2| > 4^|x+1|;
4. 5^|x+4| < 25^|x|.

1)

$$3^{|x-2|} < 9;$$ $$3^{|x-2|} < 3^2;$$ $$|x-2| < 2;$$ $$\sqrt{(x-2)^2} < 2;$$ $$(x-2)^2 < 4;$$ $$x^2 — 4x + 4 < 4;$$ $$x^2 — 4x < 0;$$ $$x(x-4) < 0;$$ $$0 < x < 4.$$

Ответ: $0 < x < 4$.

2)

$$4^{|x+1|} > 16;$$ $$4^{|x+1|} > 4^2;$$ $$|x+1| > 2;$$ $$\sqrt{(x+1)^2} > 2;$$ $$(x+1)^2 > 4;$$ $$x^2 + 2x + 1 > 4;$$ $$x^2 + 2x — 3 > 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$$ $$(x+3)(x-1) > 0;$$ $$x < -3 \quad \text{и} \quad x > 1.$$

Ответ: $x < -3$; $x > 1$.

3)

$$2^{|x-2|} > 4^{|x+1|};$$ $$2^{|x-2|} > 2^{2|x+1|};$$ $$|x-2| > 2|x+1|;$$ $$\sqrt{(x-2)^2} > 2\sqrt{(x+1)^2};$$ $$(x-2)^2 > 4(x+1)^2;$$ $$x^2 — 4x + 4 > 4(x^2 + 2x + 1);$$ $$x^2 — 4x + 4 > 4x^2 + 8x + 4;$$ $$3x^2 + 12x < 0;$$ $$x^2 + 4x < 0;$$ $$(x+4)x < 0;$$ $$-4 < x < 0.$$

Ответ: $-4 < x < 0$.

4)

$$5^{|x+4|} < 25^{|x|};$$ $$5^{|x+4|} < 5^{2|x|};$$ $$|x+4| < 2|x|;$$ $$\sqrt{(x+4)^2} < 2\sqrt{x^2};$$ $$(x+4)^2 < 4x^2;$$ $$x^2 + 8x + 16 < 4x^2;$$ $$3x^2 — 8x — 16 > 0;$$ $$D = 8^2 + 4 \cdot 3 \cdot 16 = 64 + 192 = 256, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{8 — 16}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3};$$ $$x_2 = \frac{8 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4;$$ $$\left(x + 1\frac{1}{3}\right)(x — 4) > 0;$$ $$x < -1\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x > 4.$$

Ответ: $x < -1\frac{1}{3}$; $x > 4$.

Задача 1:

Необходимо решить неравенство:

$$3^{|x-2|} < 9$$

• Преобразуем правую часть неравенства. Заметим, что $9 = 3^2$, поэтому:

$$3^{|x-2|} < 3^2$$

• Поскольку функция $3^y$ монотонно возрастает для всех значений $y$, мы можем применить правило для неравенств с одинаковыми основаниями (основание больше 1). Таким образом, получаем:

$$|x-2| < 2$$

• Теперь решим неравенство с модулем:

  $$-2 < x — 2 < 2$$

• Прибавим 2 к каждой части неравенства:

  $$0 < x < 4$$

Ответ: $0 < x < 4$.

Задача 2:

Необходимо решить неравенство:

$$4^{|x+1|} > 16$$

• Преобразуем правую часть неравенства. Заметим, что $16 = 4^2$, поэтому:

  $$4^{|x+1|} > 4^2$$

• Поскольку функция $4^y$ монотонно возрастает для всех значений $y$, применяем правило для неравенств с одинаковыми основаниями:

  $$|x+1| > 2$$

• Теперь решим неравенство с модулем:

  $$x+1 < -2 \quad \text{или} \quad x+1 > 2$$

  Первая часть:

  $$x < -3$$

  Вторая часть:

  $$x > 1$$

Ответ: $x < -3$; $x > 1$.

Задача 3:

Необходимо решить неравенство:

$$2^{|x-2|} > 4^{|x+1|}$$

• Преобразуем правую часть неравенства. Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому:

  $$2^{|x-2|} > (2^2)^{|x+1|} = 2^{2|x+1|}$$

• Поскольку основания одинаковые, можем приравнять показатели степеней:

  $$|x-2| > 2|x+1|$$

• Решим это неравенство. Сначала извлечем квадратные корни:

  $$\sqrt{(x-2)^2} > 2 \cdot \sqrt{(x+1)^2}$$

  Это эквивалентно:

  $$|x-2| > 2|x+1|$$

• Теперь решим квадратное неравенство:

  $$(x-2)^2 > 4(x+1)^2$$

  Раскроем скобки:

  $$x^2 — 4x + 4 > 4(x^2 + 2x + 1)$$

• Упростим:

  $$x^2 — 4x + 4 > 4x^2 + 8x + 4$$

  Переносим все в одну сторону:

  $$x^2 — 4x + 4 — 4x^2 — 8x — 4 > 0$$

  Упрощаем:

  $$-3x^2 — 12x > 0$$

• Разделим на $-3$ (при этом знак неравенства изменится):

  $$x^2 + 4x < 0$$

• Разделим на $x(x+4) < 0$, используя правило знаков для произведения:

  $$-4 < x < 0$$

Ответ: $-4 < x < 0$.

Задача 4:

Необходимо решить неравенство:

$$5^{|x+4|} < 25^{|x|}$$

• Преобразуем правую часть неравенства. Заметим, что $25 = 5^2$, поэтому:

  $$5^{|x+4|} < 5^{2|x|}$$

• Поскольку функция $5^y$ монотонно возрастает для всех значений $y$, применяем правило для неравенств с одинаковыми основаниями:

  $$|x+4| < 2|x|$$

• Решаем неравенство с модулем:

  $$\sqrt{(x+4)^2} < 2\sqrt{x^2}$$

  Это эквивалентно:

  $$(x+4)^2 < 4x^2$$

• Раскроем скобки:

  $$x^2 + 8x + 16 < 4x^2$$

• Переносим все в одну сторону:

  $$x^2 + 8x + 16 — 4x^2 < 0$$

  Упрощаем:

  $$-3x^2 + 8x + 16 < 0$$

  Умножим на $-1$ (не забываем про изменение знака неравенства):

  $$3x^2 — 8x — 16 > 0$$

• Находим дискриминант:

  $$D = (-8)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 64 + 192 = 256$$

• Находим корни квадратного уравнения:

  $$x_1 = \frac{-(-8) — \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{8 — 16}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-8) + \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 16}{6} = \frac{24}{6} = 4$$

• Записываем итоговое неравенство:

  $$(x + \frac{4}{3})(x — 4) > 0$$

• Решаем неравенство:

  $$x < -\frac{4}{3} \quad \text{или} \quad x > 4$$

Ответ: $x < -\frac{4}{3}$; $x > 4$.

Итоговые ответы:

1. $0 < x < 4$
2. $x < -3$; $x > 1$
3. $-4 < x < 0$
4. $x < -\frac{4}{3}$; $x > 4$