ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 608 Алимов — Подробные Ответы

1. 6arctg корень 3 — 4arcsin (-1/корень 2);
2. 2arctg1 + 3arcsin (-1/2);
3. 5arctg(-корень 3) — 3arccos(-корень 2/2).

1. $6 \arctg \sqrt{3} — 4 \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 6 \cdot \frac{\pi}{3} + 4 \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\pi + 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 3\pi$;
2. $2 \arctg 1 + 3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} — 3 \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} — 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0$;
3. $5 \arctg(-\sqrt{3}) — 3 \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -5 \arctg \sqrt{3} — 3 \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) =$

$= -5 \cdot \frac{\pi}{3} — 3\pi + 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{-20\pi — 36\pi + 9\pi}{12} = -\frac{47\pi}{12}$;

1. $6 \arctg \sqrt{3} — 4 \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 6 \cdot \frac{\pi}{3} + 4 \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\pi + 4 \cdot \frac{\pi}{4} = 3\pi$

Шаг 1. Рассмотрим $6 \arctg \sqrt{3}$

Мы знаем, что $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$ — это угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из стандартных значений тангенса мы знаем, что:

$$\tan \left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}.$$

Следовательно:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Теперь, умножаем на 6:

$$6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi.$$

Шаг 2. Рассмотрим $4 \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

Мы знаем, что $\arcsin$ — это функция, которая возвращает угол, синус которого равен данному числу. В данном случае нужно найти угол, для которого:

$$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Из стандартных значений синуса мы знаем, что $\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. Таким образом:

$$\arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{\pi}{4}.$$

Умножаем на 4:

$$4 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\pi.$$

Шаг 3. Подставляем значения в исходное выражение

Теперь мы можем подставить полученные значения:

$$6 \arctg \sqrt{3} — 4 \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 2\pi — (-\pi) = 2\pi + \pi = 3\pi.$$

Ответ: $6 \arctg \sqrt{3} — 4 \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 3\pi$.

2. $2 \arctg 1 + 3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} — 3 \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} — 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0$

Шаг 1. Рассмотрим $2 \arctg 1$

Мы знаем, что $\operatorname{arctg} 1$ — это угол, тангенс которого равен 1. Из стандартных значений тангенса мы знаем, что:

$$\tan \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1.$$

Следовательно:

$$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}.$$

Умножаем на 2:

$$2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2. Рассмотрим $3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$

Нам нужно найти угол, для которого:

$$\sin \theta = -\frac{1}{2}.$$

Из стандартных значений синуса мы знаем, что $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$. Таким образом:

$$\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6}.$$

Умножаем на 3:

$$3 \cdot \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3. Подставляем значения в исходное выражение

Теперь подставляем полученные значения:

$$2 \arctg 1 + 3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0.$$

Ответ: $2 \arctg 1 + 3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = 0$.

3. $5 \arctg(-\sqrt{3}) — 3 \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -5 \arctg \sqrt{3} — 3 \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Шаг 1. Рассмотрим $5 \arctg(-\sqrt{3})$

Нам нужно найти $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3})$, то есть угол, тангенс которого равен $-\sqrt{3}$. Из стандартных значений тангенса мы знаем, что:

$$\tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3}.$$

Следовательно:

$$\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}.$$

Умножаем на 5:

$$5 \cdot \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\frac{5\pi}{3}.$$

Шаг 2. Рассмотрим $3 \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Нам нужно найти угол $\theta$, для которого $\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Из стандартных значений косинуса мы знаем, что:

$$\cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Следовательно:

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{4}.$$

Умножаем на 3:

$$3 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}.$$

Шаг 3. Подставляем значения в исходное выражение

Теперь подставляем полученные значения в исходное выражение:

$$5 \arctg(-\sqrt{3}) — 3 \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{5\pi}{3} — \frac{9\pi}{4}.$$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. Перепишем дроби:

$$-\frac{5\pi}{3} = -\frac{20\pi}{12}, \quad -\frac{9\pi}{4} = -\frac{27\pi}{12}.$$

Теперь сложим их:

$$-\frac{20\pi}{12} — \frac{27\pi}{12} = -\frac{47\pi}{12}.$$

Ответ: $5 \arctg(-\sqrt{3}) — 3 \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -\frac{47\pi}{12}$.