ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 838 Алимов — Подробные Ответы

1. cos(x/2 -1) + e3x;
2. sin (x/3+3) + 2x;
3. 3cos4x — 1/2x.

1. $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right) + e^{3x}$;
   $f'(x) = \left( \cos\left(\frac{1}{2}x — 1\right) \right)’ + (e^{3x})’ = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2} — 1\right) + 3e^{3x}$;
2. $f(x) = \sin\left(\frac{x}{3} + 3\right) + 2^x$;
   $f'(x) = \left( \sin\left(\frac{1}{3}x + 3\right) \right)’ + (2^x)’ = \frac{1}{3}\cos\left(\frac{x}{3} + 3\right) + 2^x \cdot \ln 2$;
3. $f(x) = 3\cos 4x — \frac{1}{2x}$;
   $f'(x) = 3 \cdot (\cos 4x)’ — \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)’$;
   $f'(x) = 3 \cdot (-4) \cdot \sin 4x — \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -12\sin 4x + \frac{1}{2x^2}$

1) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right) + e^{3x}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для суммы функций

Если у нас есть сумма двух функций, то производная этой суммы равна сумме производных этих функций. Т.е.

$$(f(x) + g(x))’ = f'(x) + g'(x).$$

Здесь $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right)$ и $g(x) = e^{3x}$.

Шаг 2: Находим производную первой части $f_1(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right)$

Для вычисления производной $f_1(x) = \cos\left(\frac{x}{2} — 1\right)$ воспользуемся цепным правилом. Цепное правило гласит:

$$\frac{d}{dx} \cos(u(x)) = -\sin(u(x)) \cdot u'(x),$$

где $u(x) = \frac{x}{2} — 1$.

Теперь находим производную $u(x) = \frac{x}{2} — 1$:

$$u'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x}{2} — 1 \right) = \frac{1}{2}.$$

Следовательно, производная $f_1(x)$ будет:

$$f_1′(x) = -\sin\left( \frac{x}{2} — 1 \right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{x}{2} — 1 \right).$$

Шаг 3: Находим производную второй части $f_2(x) = e^{3x}$

Производная функции $e^{3x}$ вычисляется по стандартному правилу для экспоненциальной функции:

$$\frac{d}{dx} e^{kx} = k e^{kx},$$

где $k = 3$. Таким образом,

$$f_2′(x) = 3e^{3x}.$$

Шаг 4: Суммируем производные

Теперь, когда мы нашли производные обеих частей, получаем полную производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = -\frac{1}{2} \sin\left( \frac{x}{2} — 1 \right) + 3e^{3x}.$$

2) $f(x) = \sin\left(\frac{x}{3} + 3\right) + 2^x$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для суммы функций

Как и в предыдущем примере, воспользуемся тем, что производная суммы функций равна сумме производных:

$$f'(x) = \left( \sin\left( \frac{x}{3} + 3 \right) \right)’ + \left( 2^x \right)’.$$

Шаг 2: Находим производную первой части $f_1(x) = \sin\left( \frac{x}{3} + 3 \right)$

Для вычисления производной функции $f_1(x) = \sin\left( \frac{x}{3} + 3 \right)$ также используем цепное правило:

$$\frac{d}{dx} \sin(u(x)) = \cos(u(x)) \cdot u'(x),$$

где $u(x) = \frac{x}{3} + 3$.

Теперь находим производную $u(x) = \frac{x}{3} + 3$:

$$u'(x) = \frac{1}{3}.$$

Следовательно, производная $f_1(x)$ будет:

$$f_1′(x) = \cos\left( \frac{x}{3} + 3 \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \cos\left( \frac{x}{3} + 3 \right).$$

Шаг 3: Находим производную второй части $f_2(x) = 2^x$

Производная функции $2^x$ вычисляется по следующему правилу:

$$\frac{d}{dx} 2^x = 2^x \ln 2.$$

Следовательно,

$$f_2′(x) = 2^x \ln 2.$$

Шаг 4: Суммируем производные

Теперь, когда мы нашли производные обеих частей, получаем полную производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cos\left( \frac{x}{3} + 3 \right) + 2^x \ln 2.$$

3) $f(x) = 3\cos 4x — \frac{1}{2x}$

Шаг 1: Применение правила дифференцирования для разности функций

Производная разности функций равна разности их производных:

$$f'(x) = \left( 3 \cos 4x \right)’ — \left( \frac{1}{2x} \right)’.$$

Шаг 2: Находим производную первой части $f_1(x) = 3 \cos 4x$

Для вычисления производной функции $f_1(x) = 3 \cos 4x$, применяем правило дифференцирования для косинуса с учетом множителя:

$$\frac{d}{dx} \cos(kx) = -k \sin(kx),$$

где $k = 4$. Таким образом,

$$f_1′(x) = 3 \cdot (-4) \sin 4x = -12 \sin 4x.$$

Шаг 3: Находим производную второй части $f_2(x) = -\frac{1}{2x}$

Для вычисления производной $f_2(x) = -\frac{1}{2x}$ используем правило дифференцирования функции $\frac{1}{x}$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}.$$

Следовательно,

$$f_2′(x) = -\frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{2x^2}.$$

Шаг 4: Суммируем производные

Теперь, когда мы нашли производные обеих частей, получаем полную производную функции $f(x)$:

$$f'(x) = -12 \sin 4x + \frac{1}{2x^2}.$$