ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 859 Алимов — Подробные Ответы

Найти угол между касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой х0 и осью Ох:

1. f(x) =1/3×3,x0=1;
2. f(x) =1/x,x0=1;
3. f(x) = 2 корень x,x0=3;
4. f(x) =18/корень x,x0=3;
5. f(x) =e^((3x+1)/2),x0=0;
6. f(x) = ln(2x+1),x0=2.

Угол между касательной и осью $OX$:
$k = \operatorname{tg} a$, отсюда $a = \arctg k$;

1) $f(x) = \frac{1}{3} x^3$ и $x_0 = 1$;
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)’ = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2;$
$k = f'(1) = 1^2 = 1;$
$a = \arctg 1 = \frac{\pi}{4};$
Ответ: $a = \frac{\pi}{4}$.

2) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 1$;
$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2};$
$k = f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1;$
$a = -\arctg 1 = -\frac{\pi}{4};$
Ответ: $a = -\frac{\pi}{4}$.

3) $f(x) = 2\sqrt{x}$ и $x_0 = 3$;
$f'(x) = 2 \cdot (\sqrt{x})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}};$
$k = f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}};$
$a = \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6};$
Ответ: $a = \frac{\pi}{6}$.

4) $f(x) = \frac{18}{\sqrt{x}}$ и $x_0 = 3$;
$f'(x) = 18 \cdot \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)’ = 18 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{9}{x\sqrt{x}};$
$k = f'(3) = -\frac{9}{3\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3};$
$a = -\arctg \sqrt{3} = -\frac{\pi}{3};$
Ответ: $a = -\frac{\pi}{3}$.

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$ и $x_0 = 0$;
$f'(x) = \left( e^{\frac{3x+1}{2}} \right)’ = \frac{3}{2} e^{\frac{3x+1}{2}};$
$k = f'(0) = \frac{3}{2} e^{\frac{3 \cdot 0 + 1}{2}} = \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{e}}{2};$
Ответ: $a = \arctg \frac{3\sqrt{e}}{2}$.

6) $f(x) = \ln(2x + 1)$ и $x_0 = 2$;
$f'(x) = (\ln(2x + 1))’ = \frac{2}{2x + 1};$
$k = f'(2) = \frac{2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{2}{4 + 1} = \frac{2}{5};$
Ответ: $a = \arctg \frac{2}{5}$.

В данной задаче нужно найти угол наклона касательной к графику функции в точке $x_0$. Угол наклона этой касательной связан с производной функции в точке $x_0$ через тангенс угла. Рассмотрим каждый из пунктов задачи и найдём угол наклона касательной для каждой функции.

Формула для угла наклона касательной:

$$k = \operatorname{tg} a$$

где $k$ — это производная функции в точке $x_0$, а $a$ — угол наклона касательной к графику функции в этой точке. Мы можем выразить угол наклона как:

$$a = \arctg k$$

Теперь рассмотрим каждый случай:

1) $f(x) = \frac{1}{3} x^3$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \frac{1}{3} x^3$

Для нахождения производной функции используем стандартное правило дифференцирования степенной функции. Если функция $f(x) = x^n$, то её производная будет $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае, $f(x) = \frac{1}{3} x^3$, поэтому производная будет:

$$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 1$ в производную

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = 1^2 = 1$$

Шаг 3: Находим угол наклона касательной

Из формулы $a = \arctg k$, где $k = f'(x_0)$, получаем:

$$a = \arctg 1 = \frac{\pi}{4}$$

Ответ:

$$a = \frac{\pi}{4}$$

2) $f(x) = \frac{1}{x}$ и $x_0 = 1$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \frac{1}{x}$

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{1}{x}$, используем стандартное правило дифференцирования функции вида $\frac{1}{x}$:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{1}{x^2}$$

Таким образом, производная $f(x)$ будет:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 1$ в производную

Теперь подставим $x_0 = 1$ в выражение для производной:

$$f'(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$$

Шаг 3: Находим угол наклона касательной

Используя формулу для угла наклона $a = \arctg k$, где $k = f'(x_0)$, получаем:

$$a = \arctg (-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Ответ:

$$a = -\frac{\pi}{4}$$

3) $f(x) = 2\sqrt{x}$ и $x_0 = 3$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = 2\sqrt{x}$

Для нахождения производной функции $f(x) = 2\sqrt{x}$, используем правило дифференцирования функции вида $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$. Производная будет:

$$f'(x) = 2 \cdot \left( \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 3$ в производную

Теперь подставим $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$$f'(3) = \frac{1}{\sqrt{3}}$$

Шаг 3: Находим угол наклона касательной

Используем формулу $a = \arctg k$, где $k = f'(x_0)$:

$$a = \arctg \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$$

Из таблицы значений арктангенса мы знаем, что:

$$a = \frac{\pi}{6}$$

Ответ:

$$a = \frac{\pi}{6}$$

4) $f(x) = \frac{18}{\sqrt{x}}$ и $x_0 = 3$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \frac{18}{\sqrt{x}}$

Для нахождения производной функции $f(x) = 18 \cdot x^{-\frac{1}{2}}$, используем правило дифференцирования степени:

$$f'(x) = 18 \cdot \left( -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \right) = -\frac{9}{x \sqrt{x}}$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 3$ в производную

Теперь подставим $x_0 = 3$ в выражение для производной:

$$f'(3) = -\frac{9}{3\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$

Шаг 3: Находим угол наклона касательной

Используем формулу $a = \arctg k$, где $k = f'(x_0)$:

$$a = -\arctg \left( \sqrt{3} \right) = -\frac{\pi}{3}$$

Ответ:

$$a = -\frac{\pi}{3}$$

5) $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$ и $x_0 = 0$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$

Для нахождения производной функции $f(x) = e^{\frac{3x+1}{2}}$, применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$$f'(x) = e^{\frac{3x+1}{2}} \cdot \frac{3}{2}$$

Таким образом, производная $f(x)$ будет:

$$f'(x) = \frac{3}{2} e^{\frac{3x+1}{2}}$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 0$ в производную

Теперь подставим $x_0 = 0$ в выражение для производной:

$$f'(0) = \frac{3}{2} e^{\frac{3 \cdot 0 + 1}{2}} = \frac{3}{2} e^{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{e}}{2}$$

Шаг 3: Находим угол наклона касательной

Используем формулу $a = \arctg k$, где $k = f'(x_0)$:

$$a = \arctg \left( \frac{3\sqrt{e}}{2} \right)$$

Ответ:

$$a = \arctg \frac{3\sqrt{e}}{2}$$

6) $f(x) = \ln(2x + 1)$ и $x_0 = 2$

Шаг 1: Находим производную функции $f(x) = \ln(2x + 1)$

Для нахождения производной функции $f(x) = \ln(2x + 1)$, используем правило дифференцирования логарифма с внутренней функцией:

$$f'(x) = \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 1}$$

Шаг 2: Подставляем $x_0 = 2$ в производную

Теперь подставим $x_0 = 2$ в выражение для производной:

$$f'(2) = \frac{2}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{2}{5}$$

Шаг 3: Находим угол наклона касательной

Используем формулу $a = \arctg k$, где $k = f'(x_0)$:

$$a = \arctg \frac{2}{5}$$

Ответ:

$$a = \arctg \frac{2}{5}$$$a = \arctg \frac{2}{5}$