ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 641 Алимов — Подробные Ответы

1. cos2x/cosx + cosx/cox2x = 1;
2. sinx+ 1/sinx = sin2x+1/sin2x.

1) $\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1$

Пусть $y=\frac{\cos 2x}{\cos x}$, тогда:

$$y+\frac{1}{y}=1$$

Умножим обе части уравнения на $y$:

$$y^2+1=y$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^2-y+1=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D<0$), корней нет.

Ответ: корней нет.

2) $\sin x+\frac{1}{\sin x}={\sin }^{2}x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Пусть $y=\sin x$, тогда:

$$y+\frac{1}{y}=y^2+\frac{1}{y^2}$$

Умножаем обе части уравнения на $y^2$:

$$y^3+y=y^4+1$$

Переносим все на одну сторону:

$$y^4-y^3-y+1=0$$

Группируем:

$$y^3\cdot (y-1)-1\cdot (y-1)=0$$

Вынесем общий множитель $(y-1)$:

$$(y^3-1)(y-1)=0$$

Решаем каждое из уравнений:

1. $y^3-1=0$ даёт $y_1=\sqrt[3]{1}=1$.
2. $y-1=0$ даёт $y_2=1$.

Таким образом, $y=1$.

Поскольку $y=\sin x$, то:

$$\sin x=1$$

Решение уравнения:

$$x=\arcsin 1+2\pi n=\frac{\pi }{2}+2\pi n$$

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi n$.

1) $\frac{\cos 2x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\cos 2x}=1$

Решим уравнение по шагам.

Шаг 1: Замена

Для упрощения введем замену. Пусть:

$$y=\frac{\cos 2x}{\cos x}$$

Тогда исходное уравнение становится:

$$y+\frac{1}{y}=1$$

Шаг 2: Умножаем обе части на $y$

Умножим обе части уравнения на $y$, чтобы избавиться от дробей:

$$y^2+1=y$$

Шаг 3: Приводим к квадратному уравнению

Переносим все члены на одну сторону:

$$y^2-y+1=0$$

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 4: Находим дискриминант

Для того чтобы найти корни этого квадратного уравнения, нам нужно вычислить дискриминант. Формула для дискриминанта $D$ квадратного уравнения $a{y}^2+by+c=0$ имеет вид:

$$D=b^2-4ac$$

В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=1$, поэтому:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3$$

Шаг 5: Анализ дискриминанта

Так как дискриминант $D=-3$ отрицателен, это означает, что у уравнения нет действительных корней. Следовательно, решение уравнения не существует в области действительных чисел.

Ответ: Корней нет.

2) $\sin x+\frac{1}{\sin x}={\sin }^{2}x+\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Решим это уравнение аналогично, используя последовательность логичных шагов.

Шаг 1: Замена

Пусть:

$$y=\sin x$$

Тогда исходное уравнение преобразуется в:

$$y+\frac{1}{y}=y^2+\frac{1}{y^2}$$

Шаг 2: Умножаем обе части на $y^2$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на $y^2$:

$$y^3+y=y^4+1$$

Шаг 3: Приводим к полному квадратному уравнению

Теперь перенесем все на одну сторону:

$$y^4-y^3-y+1=0$$

Шаг 4: Группируем

Группируем члены уравнения, чтобы вынести общий множитель:

$$y^3\cdot (y-1)-1\cdot (y-1)=0$$

Теперь можно вынести общий множитель $(y-1)$:

$$(y^3-1)(y-1)=0$$

Шаг 5: Решаем уравнение

Теперь у нас два множителя:

$y^3-1=0$, что даёт:

$$y^3=1\Rightarrow y=\sqrt[3]{1}=1$$

$y-1=0$, что даёт:

$$y=1$$

Таким образом, $y=1$ для обоих множителей.

Шаг 6: Возвращаемся к $\sin x$

Поскольку $y=\sin x$, то получаем:

$$\sin x=1$$

Шаг 7: Решаем для $x$

Из уравнения $\sin x=1$ мы знаем, что $x=\arcsin 1$. Значение $\arcsin 1$ равно $\frac{\pi }{2}$, и так как синус периодичен, то общее решение имеет вид:

$$x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$$

где $n$ — любое целое число.

Ответ: $\frac{\pi }{2}+2\pi n$.