ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 317 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить на микрокалькуляторе приближённое значение числа е по формуле e=2+1/2 + 1/2*3 + 1/2*3*4+ … + 1/2*3*4*…*n при:

1. n=7;
2. n=8;
3. n=9;
4. n=10.

Вычислить на микрокалькуляторе приближенное значение числа $e$ по формуле:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n};$$

1. Если $n = 7$, тогда:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} \approx 2,7182539;$$

2. Если $n = 8$, тогда:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} + \frac{1}{40320} \approx 2,7182788;$$

3. Если $n = 9$, тогда:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} + \frac{1}{40320} + \frac{1}{362880} \approx 2,7182815;$$

4. Если $n = 10$, тогда:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040} + \frac{1}{40320} + \frac{1}{362880} + \frac{1}{3628800} \approx 2,7182819;$$

Условие:
Вычислить приближённое значение числа $e$ с помощью микрокалькулятора по следующей формуле:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot n}$$

Эта формула является частным случаем разложения экспоненты $e^x$ в степенной ряд при $x = 1$, но с началом от второго члена ряда (пропущен $\frac{1}{0!} = 1$ и $\frac{1}{1!} = 1$) и заменён на $2$ в начале.

Обозначим:

Последовательные члены ряда — это обратные значения факториалов, начиная с $2!$, но с заменой первых двух на $2$ и $\frac{1}{2}$.

Запишем подробно каждый шаг вычислений для различных значений $n$:

1) При $n = 7$

$$e \approx 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \frac{1}{720} + \frac{1}{5040}$$

Расчёт каждого слагаемого:

• $\frac{1}{2} = 0.5$
• $\frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \approx 0.1666667$
• $\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{1}{24} \approx 0.0416667$
• $\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{120} \approx 0.0083333$
• $\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{1}{720} \approx 0.0013889$
• $\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{1}{5040} \approx 0.0001984$

Суммируем:

$$e \approx 2 + 0.5 + 0.1666667 + 0.0416667 + 0.0083333 + 0.0013889 + 0.0001984 \approx \boxed{2.7182539}$$

2) При $n = 8$

Добавим следующее слагаемое:

• $\frac{1}{40320} \approx 0.0000248$

$$e \approx 2.7182539 + 0.0000248 \approx \boxed{2.7182788}$$

3) При $n = 9$

Добавим следующее слагаемое:

• $\frac{1}{362880} \approx 0.0000028$

$$e \approx 2.7182788 + 0.0000028 \approx \boxed{2.7182815}$$

4) При $n = 10$

Добавим следующее слагаемое:

• $\frac{1}{3628800} \approx 0.0000003$

$$e \approx 2.7182815 + 0.0000003 \approx \boxed{2.7182819}$$

Вывод:

С увеличением $n$ значение приближается к точному значению числа $e \approx 2.718281828459\ldots$

Ответы:

• При $n = 7$:                $e \approx 2.7182539$
• При $n = 8$:                $e \approx 2.7182788$
• При $n = 9$:                $e \approx 2.7182815$
• При $n = 10$:               $e \approx 2.7182819$