ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 179 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. y= корень 3 степени (1-x);
2. y= корень 6 степени (2-x2);
3. y= (3×2+1)^-2;
4. y= корень (x2-x-2)

$y = \sqrt[3]{1 — x}$;

Функция определена при: $-\infty < x < +\infty$;

Ответ: $D(x) = (-\infty; +\infty)$.

$y = \sqrt[6]{2 — x^2}$;

Функция определена при: $2 — x^2 \geq 0$;

$x^2 \leq 2$;

$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$;

Ответ: $D(x) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$.

$y = (3x^2 + 1)^{-2} = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$;

Функция определена при: $3x^2 + 1 \neq 0$;

$3x^2 \neq -1$;

$x^2 \neq -\frac{1}{3}$ — при любом $x$;

Ответ: $D(x) = (-\infty; +\infty)$.

$y = \sqrt{x^2 — x — 2}$;

Функция определена при: $x^2 — x — 2 \geq 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда: $x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

$(x + 1)(x — 2) \geq 0$;

$x \leq -1$ и $x \geq 2$;

Ответ: $D(x) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

1) $y = \sqrt[3]{1 — x}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Кубический корень (или корень третьей степени) можно извлекать из любого действительного числа, включая отрицательные значения. Это означает, что выражение $\sqrt[3]{1 — x}$будет определено для любого значения $x$. Нет никаких ограничений на $x$, потому что мы не сталкиваемся с корнями четной степени или делением на ноль.

Шаг 2: Ответ.
Таким образом, функция определена на всей числовой прямой, и её область определения:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

2) $y = \sqrt[6]{2 — x^2}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Функция включает в себя корень шестой степени, который является корнем четной степени. Для того чтобы корень был определён, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть:

$$2 — x^2 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$x^2 \leq 2$$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей неравенства:

$$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$$

Таким образом, область определения функции — это отрезок от $-\sqrt{2}$до $\sqrt{2}$.

Шаг 2: Ответ.
Область определения функции:

$$D(x) = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$$

3) $y = (3x^2 + 1)^{-2} = \frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$

Шаг 1: Определим область определения функции.

Здесь имеется выражение вида $\frac{1}{(3x^2 + 1)^2}$, и чтобы функция была определена, знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому нужно решить неравенство:

$$3x^2 + 1 \neq 0$$

Решим это неравенство:

$$3x^2 \neq -1$$

$$x^2 \neq -\frac{1}{3}$$

Так как квадрат числа всегда неотрицателен, выражение $x^2 = -\frac{1}{3}$ не имеет решений в действительных числах. Таким образом, функция определена для всех значений $x$, так как невозможности на основании этого уравнения нет.

Шаг 2: Ответ.
Область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

4) $y = \sqrt{x^2 — x — 2}$

Шаг 1: Определим область определения функции.
Для того чтобы функция была определена, выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2 — x — 2 \geq 0$$

Решим это неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Используем дискриминант для нахождения корней:

$$D = (-1)^2 — 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь находим сами корни:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Таким образом, корни квадратного уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$. Далее раскладываем выражение $x^2 — x — 2$ на множители:

$$(x + 1)(x — 2) \geq 0$$

Решим это неравенство. Для этого рассмотрим знаки на промежутках, образованных корнями $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$:

• При $x\le -1$, оба множителя $(x + 1)$ и  $(x — 2)$ отрицательны, и произведение положительное.
• При $-1<x<2$, множитель $(x + 1)$ положителен, а $(x — 2)$ отрицателен, и произведение отрицательно.
• При $x\ge 2$, оба множителя положительны, и произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется при:

$$x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 2$$

Это означает, что функция определена на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[2; +\infty)$.

Шаг 2: Ответ.
Область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$$