ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 46 Алимов — Подробные Ответы

1. корень (9+корень 17) * корень (9-корень 17);
2. (корень (3+корень 5) — корень (3-корень 5)2;
3. (корень (5+корень 21) + корень (5-корень 21)2.

1).

$$\sqrt{9+\sqrt{17}\cdot 9-\sqrt{17}}=\sqrt{(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})}=\sqrt{9^2-(\sqrt{17}{)}^2}=$$

$$=\sqrt{81-17}=\sqrt{64}=8;$$

2).

$${(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2=(3+\sqrt{5})-2\sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot \sqrt{3-\sqrt{5}}+(3-\sqrt{5})=$$

$$=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=$$

$$=6-2\sqrt{9-5}=6-2\sqrt{4}=$$

$$=6-2\cdot 2=6-4=2;$$

3).

$${(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})}^2=(5+\sqrt{21})+2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}+(5-\sqrt{21})=$$

$$=5+\sqrt{21}+5-\sqrt{21}+2\sqrt{5^2-(\sqrt{21}{)}^2}=$$

$$=10+2\sqrt{4}=10+2\cdot 2=10+4=14$$

1) Выражение:

$\sqrt{(9+\sqrt{17})\cdot (9-\sqrt{17})}$

Разбор выражения внутри корня:

$$(9+\sqrt{17})(9-\sqrt{17})$$

Эта запись представляет собой разность квадратов:

$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

В нашем случае:

$$a=9,b=\sqrt{17}$$

Подставляем в формулу:

$$9^2-(\sqrt{17}{)}^2=81-17=64$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\sqrt{64}=8$$

Ответ: $8$

2) Выражение:

$${(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2$$

Разворачиваем в квадрат разности:

$${(\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}})}^2=(\sqrt{3+\sqrt{5}}{)}^2-2\cdot \sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}+(\sqrt{3-\sqrt{5}}{)}^2$$

Раскрываем скобки:

$$(3+\sqrt{5})+(3-\sqrt{5})-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

Преобразуем:

$$3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

$$=(3+3)-(\sqrt{5}-\sqrt{5})-2\sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}$$

Так как разность квадратов:

$$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5}{)}^2=9-5=4$$

Тогда выражение принимает вид:

$$6-2\sqrt{4}=6-2\cdot 2=6-4=2$$

Ответ: 2.

3) Выражение:

$${(\sqrt{5+\sqrt{21}}+\sqrt{5-\sqrt{21}})}^2$$

Раскрываем квадрат суммы:

$$(5+\sqrt{21})+2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}+(5-\sqrt{21})$$

Раскрываем скобки:

$$5+\sqrt{21}+5-\sqrt{21}+2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$$

Складываем подобные:

$$10+2\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}$$

Рассчитаем выражение под корнем, используя разность квадратов:

$$(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})=5^2-(\sqrt{21}{)}^2=25-21=4$$

Тогда:

$$\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}=\sqrt{4}=2$$

Подставляем:

$$10+2\times 2=10+4=14$$

Окончательный ответ: 14.