ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1515 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = х2 (2х — 3) — 12 (Зх — 2) на отрезке [-3; 6].

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 6]$:

$$f(x) = x^2(2x — 3) — 12(3x — 2) = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 24;$$

Производная функции:

$$f'(x) = 2(x^3)’ — 3(x^2)’ — (36x — 24)’;$$ $$f'(x) = 2 \cdot 3x^2 — 3 \cdot 2x — 36 = 6x^2 — 6x — 36;$$

Стационарные точки:

$$6x^2 — 6x — 36 = 0;$$ $$x^2 — x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \text{ и } x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$

Значения функции:

$$f(-3) = 2 \cdot (-27) — 3 \cdot 9 — 36 \cdot (-3) + 24 = -54 — 27 + 108 + 24 = 51;$$ $$f(-2) = 2 \cdot (-8) — 3 \cdot 4 — 36 \cdot (-2) + 24 = -16 — 12 + 72 + 24 = 68;$$ $$f(3) = 2 \cdot 27 — 3 \cdot 9 — 36 \cdot 3 + 24 = 54 — 27 — 108 + 24 = -57;$$ $$f(6) = 2 \cdot 216 — 3 \cdot 36 — 36 \cdot 6 + 24 = 432 — 108 — 216 + 24 = 132;$$

Ответ: $y_{\text{min}} = -57$; $y_{\text{max}} = 132$.

Нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 6]$:

$$f(x) = x^2(2x — 3) — 12(3x — 2) = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 24.$$

Шаг 1: Найдём производную функции

Для того чтобы найти экстремумы функции (наибольшее и наименьшее значения), необходимо сначала вычислить её производную. Производная функции даст нам информацию о её критических точках, где производная равна нулю или не существует.

Исходная функция:

$$f(x) = 2x^3 — 3x^2 — 36x + 24.$$

Теперь найдём производную этой функции по правилу дифференцирования степенных функций и констант:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3) — \frac{d}{dx}(3x^2) — \frac{d}{dx}(36x) + \frac{d}{dx}(24).$$

Для каждого слагаемого:

1. Производная от $2x^3$ по правилу дифференцирования степенной функции $\frac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$:

   $$\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2.$$

2. Производная от $-3x^2$:

   $$\frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x.$$

3. Производная от $-36x$:

   $$\frac{d}{dx}(-36x) = -36.$$

4. Производная от константы $24$:

   $$\frac{d}{dx}(24) = 0.$$

Теперь подставляем все эти значения:

$$f'(x) = 6x^2 — 6x — 36.$$

Шаг 2: Находим стационарные точки

Стационарные точки находятся там, где производная равна нулю, то есть решаем уравнение:

$$6x^2 — 6x — 36 = 0.$$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 6:

$$x^2 — x — 6 = 0.$$

Это квадратное уравнение, которое решим с помощью формулы для решения квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a},$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$. Подставим значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Так как дискриминант положительный, у нас два корня:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3.$$

Таким образом, стационарные точки функции — это $x = -2$ и $x = 3$.

Шаг 3: Проверка на границах отрезка

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-3; 6]$, нужно вычислить значения функции в точках стационарных значений и на границах отрезка, то есть в точках $x = -3$ и $x = 6$.

1. Значение функции в точке $x = -3$

Подставим $x = -3$ в исходную функцию:

$$f(-3) = 2(-3)^3 — 3(-3)^2 — 36(-3) + 24.$$

Вычисляем по частям:

$$f(-3) = 2(-27) — 3(9) — 36(-3) + 24 = -54 — 27 + 108 + 24.$$

Суммируем:

$$f(-3) = 51.$$

2. Значение функции в точке $x = -2$

Подставим $x = -2$ в исходную функцию:

$$f(-2) = 2(-2)^3 — 3(-2)^2 — 36(-2) + 24.$$

Вычисляем по частям:

$$f(-2) = 2(-8) — 3(4) — 36(-2) + 24 = -16 — 12 + 72 + 24.$$

Суммируем:

$$f(-2) = 68.$$

3. Значение функции в точке $x = 3$

Подставим $x = 3$ в исходную функцию:

$$f(3) = 2(3)^3 — 3(3)^2 — 36(3) + 24.$$

Вычисляем по частям:

$$f(3) = 2(27) — 3(9) — 36(3) + 24 = 54 — 27 — 108 + 24.$$

Суммируем:

$$f(3) = -57.$$

4. Значение функции в точке $x = 6$

Подставим $x = 6$ в исходную функцию:

$$f(6) = 2(6)^3 — 3(6)^2 — 36(6) + 24.$$

Вычисляем по частям:

$$f(6) = 2(216) — 3(36) — 36(6) + 24 = 432 — 108 — 216 + 24.$$

Суммируем:

$$f(6) = 132.$$

Шаг 4: Определяем наибольшее и наименьшее значения

Теперь, имея все значения функции на концах отрезка и в стационарных точках, сравним их:

• $f(-3) = 51$
• $f(-2) = 68$
• $f(3) = -57$
• $f(6) = 132$

Из этих значений наибольшее $f(6) = 132$, а наименьшее $f(3) = -57$.

Ответ:

Наибольшее значение функции на отрезке $[-3; 6]$ равно $132$, а наименьшее значение равно $-57$.

$$y_{\text{max}} = 132, \quad y_{\text{min}} = -57.$$