ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 452 Алимов — Подробные Ответы

Определить знак числа:

1. sin 2пи/3* sin 3пи/4;
2. cos 2пи/3* cos пи/6;
3. tg 5пи/4* sin пи/4.

Определить знак числа:

$\sin \frac{2\pi}{3} \cdot \sin \frac{3\pi}{4};$

$\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi \quad \text{— точка принадлежит II четверти, значит } \sin \frac{2\pi}{3} > 0;$
$\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{4} < \pi \quad \text{— точка принадлежит II четверти, значит } \sin \frac{3\pi}{4} > 0;$

Ответ: $\sin \frac{2\pi}{3} \cdot \sin \frac{3\pi}{4} > 0.$

$\cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6};$

$\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi \quad \text{— точка принадлежит II четверти, значит } \cos \frac{2\pi}{3} < 0;$
$0 < \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2} \quad \text{— точка принадлежит I четверти, значит } \cos \frac{\pi}{6} > 0;$

Ответ: $\cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} < 0.$

$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4};$

$\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} \quad \text{— точка принадлежит III четверти, значит } \operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} > 0;$
$0 < \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} \quad \text{— точка принадлежит I четверти, значит } \sin \frac{\pi}{4} > 0;$

Ответ: $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} > 0.$

Задача 1) Определить знак $\sin \frac{2\pi}{3} \cdot \sin \frac{3\pi}{4}$

Шаг 1. Анализ первого слагаемого $\sin \frac{2\pi}{3}$

• Угол:

  $$\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$

• При этом:

  $$\frac{\pi}{2} = 1.5708 < \frac{2\pi}{3} < \pi = 3.1416$$

• Значит, угол находится во II четверти.
• В II четверти:

  $$\sin a > 0$$

• Следовательно,

  $$\sin \frac{2\pi}{3} > 0$$

Шаг 2. Анализ второго слагаемого $\sin \frac{3\pi}{4}$

• Угол:

  $$\frac{3\pi}{4} \approx 2.356$$

• Проверяем расположение:

  $$\frac{\pi}{2} = 1.5708 < \frac{3\pi}{4} < \pi = 3.1416$$

• Значит, также во II четверти.
• В II четверти синус положителен:

  $$\sin \frac{3\pi}{4} > 0$$

Шаг 3. Произведение знаков

• Произведение двух положительных чисел положительно:

  $$\sin \frac{2\pi}{3} \cdot \sin \frac{3\pi}{4} > 0$$

Итог:

$$\boxed{\sin \frac{2\pi}{3} \cdot \sin \frac{3\pi}{4} > 0}$$

Задача 2) Определить знак $\cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6}$

Шаг 1. Анализ первого слагаемого $\cos \frac{2\pi}{3}$

• Угол:

  $$\frac{2\pi}{3} \approx 2.094$$

• Как ранее, это II четверть.
• В II четверти:

  $$\cos a < 0$$

• Значит,

  $$\cos \frac{2\pi}{3} < 0$$

Шаг 2. Анализ второго слагаемого $\cos \frac{\pi}{6}$

• Угол:

  $$\frac{\pi}{6} \approx 0.5236$$

• Это I четверть ($0 < a < \frac{\pi}{2}$).
• В I четверти косинус положителен:

  $$\cos \frac{\pi}{6} > 0$$

Шаг 3. Произведение знаков

• Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно:

  $$\cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} < 0$$

Итог:

$$\boxed{\cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos \frac{\pi}{6} < 0}$$

Задача 3) Определить знак $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}$

Шаг 1. Анализ первого слагаемого $\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4}$

• Угол:

  $$\frac{5\pi}{4} = 1.25 \pi \approx 3.927$$

• Это находится в III четверти ($\pi < a < \frac{3\pi}{2}$).
• В III четверти:

  $$\tan a > 0$$

• Значит:

  $$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} > 0$$

Шаг 2. Анализ второго слагаемого $\sin \frac{\pi}{4}$

• Угол:

  $$\frac{\pi}{4} \approx 0.785$$

• Это I четверть.
• В I четверти:

  $$\sin a > 0$$

• Значит:

  $$\sin \frac{\pi}{4} > 0$$

Шаг 3. Сумма двух положительных чисел положительна:

$$\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} > 0$$

Итог:

$$\boxed{\operatorname{tg} \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} > 0}$$