ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1062 Алимов — Подробные Ответы

Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день:

1. среди семи учащихся класса в течение 7 дней;
2. среди девяти учащихся класса в течение 9 дней?

Способы установить дежурство по одному человеку в день:

1. Среди семи учащихся в течение семи дней:
   $P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 5040;$
   Ответ: 5040 способов.
2. Среди девяти учащихся в течение девяти дней:
   $P_9 = 9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 362880;$
   Ответ: 362880 способов.

1. Теория

Перестановка — это количество способов упорядочить $n$ объектов. Когда мы говорим, что нужно установить дежурство среди нескольких учащихся, мы фактически ищем количество способов, которыми можно упорядочить этих учащихся по дням, где каждый учащийся будет дежурить только в один день. Это называется перестановка.

Число перестановок $P_n$ из $n$ объектов на $n$ местах (в нашем случае, на днях) вычисляется по формуле:

$$P_n = n!$$

где $n!$ — это факториал числа $n$, который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до $n$:

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$$

2. Разбор решения

1) Среди семи учащихся в течение 7 дней

У нас есть 7 учащихся, и нам нужно выбрать одного учащегося на каждый из 7 дней. Это задача на нахождение перестановок 7 учащихся за 7 мест.

Количество способов, которыми 7 учащихся могут быть распределены по 7 дням, равно числу перестановок 7 объектов, то есть $P_7$.

Используем формулу для факториала:

$$P_7 = 7!$$

Теперь вычислим $7!$:

$$7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

Вычисление поэтапно:

$$7\cdot 6=42$$

$$7 \cdot 6 = 42$$ $$42\cdot 5=210$$

$$42 \cdot 5 = 210$$ $$210\cdot 4=840$$

$$210 \cdot 4 = 840$$ $$840\cdot 3=2520$$

$$840 \cdot 3 = 2520$$ $$2520\cdot 2=5040$$

$$2520 \cdot 2 = 5040$$ $$5040 \cdot 1 = 5040$$

Ответ для этого случая:

$$P_7 = 5040$$

Итак, среди 7 учащихся можно установить дежурство по одному человеку в день 5040 способами.

2) Среди девяти учащихся в течение 9 дней

Теперь у нас есть 9 учащихся, и нужно выбрать одного учащегося на каждый из 9 дней. Это задача на нахождение перестановок 9 учащихся за 9 мест.

Количество способов, которыми 9 учащихся могут быть распределены по 9 дням, равно числу перестановок 9 объектов, то есть $P_9$.

Используем формулу для факториала:

$$P_9 = 9!$$

Теперь вычислим $9!$:

$$9! = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$$

Вычисление поэтапно:

$$9\cdot 8=72$$

$$9 \cdot 8 = 72$$ $$72\cdot 7=504$$

$$72 \cdot 7 = 504$$ $$504\cdot 6=3024$$

$$504 \cdot 6 = 3024$$ $$3024\cdot 5=15120$$

$$3024 \cdot 5 = 15120$$ $$15120\cdot 4=60480$$

$$15120 \cdot 4 = 60480$$ $$60480\cdot 3=181440$$

$$60480 \cdot 3 = 181440$$ $$181440\cdot 2=362880$$

$$181440 \cdot 2 = 362880$$ $$362880 \cdot 1 = 362880$$

Ответ для этого случая:

$$P_9 = 362880$$

Итак, среди 9 учащихся можно установить дежурство по одному человеку в день 362880 способами.

3. Итог

1. Среди семи учащихся в течение 7 дней дежурство можно установить 5040 способами.
2. Среди девяти учащихся в течение 9 дней дежурство можно установить 362880 способами.

4. Пояснение к решению

Задача сводится к нахождению числа перестановок, потому что порядок, в котором учащиеся будут дежурить, имеет значение. Учащийся может быть выбран для одного дня, и каждый день должен быть занят только одним учащимся. Перестановки вычисляются как факториал числа учащихся.