ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 931 Алимов — Подробные Ответы

1. y=3x+1/3x;
2. 4/x -x;
3. y=x-1/корень x.

1) $y = 3x + \frac{1}{3x}$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (3x)’ + \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ = 3 — \frac{1}{3x^2}$

в) Стационарные точки:
$3 — \frac{1}{3x^2} = 0$
$9x^2 — 1 = 0$
$(3x + 1)(3x — 1) = 0$
$x_1 = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{1}{3}$

г) Значения функции:
$f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1 — 1 = -2$
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 3 = 1 + 1 = 2$
$f(-2) = 3 \cdot (-2) + \frac{1}{3 \cdot 2} = -6 — \frac{1}{6} = -6 \frac{1}{6}$
$f(2) = 3 \cdot 2 + \frac{1}{3 \cdot 2} = 6 + \frac{1}{6} = 6 \frac{1}{6}$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right)$
• Убывает на $\left( -\frac{1}{3}; 0 \right) \cup \left( 0; \frac{1}{3} \right)$
• $x = -\frac{1}{3}$ — точка минимума
• $x = \frac{1}{3}$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

2) $y = \frac{4}{x} — x$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{x} \right)’ — (x)’ = -\frac{4}{x^2} — 1$

в) Стационарные точки:
$-\frac{4}{x^2} — 1 = 0$
$-4 — x^2 = 0$
$x^2 = -4$ — корней нет

г) Нули функции:
$\frac{4}{x} — x = 0$
$4 — x^2 = 0$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$

д) Значения функции:
$f(-4) = -\frac{4}{4} + 4 = -1 + 4 = 3$
$f(4) = \frac{4}{4} — 4 = 1 — 4 = -3$

е) Промежутки монотонности:

• Убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$

ж) Таблица свойств функции:

3) $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$

а) Область определения:
$D(x) = (0; +\infty)$

б) Производная функции:
$y'(x) = (x)’ — \left( x^{-\frac{1}{2}} \right)’ = 1 + \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$

в) Стационарные точки:
$1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = 0$
$2x\sqrt{x} + 1 = 0$
$x\sqrt{x} = -\frac{1}{2}$ — корней нет

г) Нули функции:
$x — \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$
$x\sqrt{x} — 1 = 0$
$x\sqrt{x} = 1$
$x = 1$

д) Значения функции:
$f(4) = 4 — \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 — \frac{1}{2} = 3.5$

е) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(0; +\infty)$

ж) Таблица свойств функции:

Задача 1: $y = 3x + \frac{1}{3x}$

а) Область определения:

Область определения функции $y = 3x + \frac{1}{3x}$ зависит от выражения $\frac{1}{3x}$. Поскольку дробь имеет знаменатель $3x$, она не определена при $x = 0$. Таким образом, область определения функции будет:

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = 3x + \frac{1}{3x}$, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $3x$ равна 3.
• Для $\frac{1}{3x}$ применяем правило дифференцирования для функции вида $\frac{1}{x}$. Производная от $\frac{1}{x}$ равна $-\frac{1}{x^2}$, и умножаем на константу $\frac{1}{3}$.

Таким образом, производная функции будет:

$$y'(x) = 3 — \frac{1}{3x^2}$$

Ответ:

$$y'(x) = 3 — \frac{1}{3x^2}$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки функции $y = f(x)$ находятся в точках, где производная $y'(x) = 0$. Приравняем $y'(x)$ к нулю:

$$3 — \frac{1}{3x^2} = 0$$

Переносим второе слагаемое на правую часть уравнения:

$$3 = \frac{1}{3x^2}$$

Умножим обе части уравнения на $3x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$9x^2 = 1$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$x^2 = \frac{1}{9}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$x = -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3}$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -\frac{1}{3}$, $x_2 = \frac{1}{3}$

г) Значения функции:

Теперь подставим найденные значения $x = -\frac{1}{3}$ и $x = \frac{1}{3}$ в исходную функцию $y = 3x + \frac{1}{3x}$.

Для $x = -\frac{1}{3}$:

$$f\left(-\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = -1 — 1 = -2$$

Для $x = \frac{1}{3}$:

$$f\left(\frac{1}{3}\right) = 3 \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{3}} = 1 + 1 = 2$$

Для $x = -2$:

$$f(-2) = 3 \cdot (-2) + \frac{1}{3 \cdot (-2)} = -6 — \frac{1}{6} = -6 \frac{1}{6}$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = 3 \cdot 2 + \frac{1}{3 \cdot 2} = 6 + \frac{1}{6} = 6 \frac{1}{6}$$

Ответ:
Значения функции:

• $f\left(-\frac{1}{3}\right) = -2$
• $f\left(\frac{1}{3}\right) = 2$
• $f(-2) = -6 \frac{1}{6}$
• $f(2) = 6 \frac{1}{6}$

д) Промежутки монотонности:

Чтобы определить промежутки монотонности, необходимо изучить знак производной $y'(x) = 3 — \frac{1}{3x^2}$ на различных интервалах.

Для $x \in (-\infty; -\frac{1}{3})$:
Подставим $x = -1$:

$$y'(-1) = 3 — \frac{1}{3(-1)^2} = 3 — \frac{1}{3} = \frac{8}{3} > 0$$

Это означает, что функция возрастает на интервале $(-\infty; -\frac{1}{3})$.

Для $x \in (-\frac{1}{3}; 0)$:
Подставим $x = -\frac{1}{4}$:

$$y’\left(-\frac{1}{4}\right) = 3 — \frac{1}{3\left(-\frac{1}{4}\right)^2} = 3 — \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{16}} = 3 — \frac{16}{3} = -\frac{7}{3} < 0$$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(-\frac{1}{3}; 0)$.

Для $x \in (0; \frac{1}{3})$:
Подставим $x = \frac{1}{4}$:

$$y’\left(\frac{1}{4}\right) = 3 — \frac{1}{3\left(\frac{1}{4}\right)^2} = 3 — \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{16}} = 3 — \frac{16}{3} = -\frac{7}{3} < 0$$

Это отрицательное значение говорит о том, что функция убывает на интервале $(0; \frac{1}{3})$.

Для $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$:
Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = 3 — \frac{1}{3(1)^2} = 3 — \frac{1}{3} = \frac{8}{3} > 0$$

Это положительное значение говорит о том, что функция возрастает на интервале $(\frac{1}{3}; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $\left( -\infty; -\frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{1}{3}; +\infty \right)$
• Функция убывает на $\left( -\frac{1}{3}; 0 \right) \cup \left( 0; \frac{1}{3} \right)$
• $x = -\frac{1}{3}$ — точка минимума
• $x = \frac{1}{3}$ — точка максимума

е) Таблица свойств функции:

Задача 2: $y = \frac{4}{x} — x$

а) Область определения:

Функция имеет выражение $\frac{4}{x}$, которое определено при $x \neq 0$. Поэтому область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = \frac{4}{x} — x$, используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $\frac{4}{x}$ — это $-\frac{4}{x^2}$,
• Производная от $-x$ — это $-1$.

Таким образом, производная функции будет:

$$y'(x) = -\frac{4}{x^2} — 1$$

Ответ:

$$y'(x) = -\frac{4}{x^2} — 1$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$$-\frac{4}{x^2} — 1 = 0$$

Переносим $-1$ на правую сторону:

$$-\frac{4}{x^2} = 1$$

Умножаем обе части на $-1$:

$$\frac{4}{x^2} = 1$$

Теперь умножим обе части уравнения на $x^2$:

$$4 = x^2$$

Решение этого уравнения:

$$x = \pm 2$$

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$

г) Нули функции:

Нули функции — это точки, где $y = 0$, то есть:

$$\frac{4}{x} — x = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{4}{x} = x$$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$$4 = x^2$$

Решение уравнения:

$$x = \pm 2$$

Ответ:
Нули функции: $x = \pm 2$

д) Значения функции:

Для $x = -4$:

$$f(-4) = \frac{4}{-4} — (-4) = -1 + 4 = 3$$

Для $x = 4$:

$$f(4) = \frac{4}{4} — 4 = 1 — 4 = -3$$

Ответ:
Значения функции:

• $f(-4) = 3$
• $f(4) = -3$

е) Промежутки монотонности:

Чтобы исследовать промежутки монотонности, рассмотрим знак производной $y'(x) = -\frac{4}{x^2} — 1$. Производная всегда отрицательна для всех $x \neq 0$, так как $-\frac{4}{x^2}$ всегда отрицательно, а $-1$ добавляет дополнительное отрицательное значение. Это означает, что функция убывает на интервале $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ:
Функция убывает на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

ж) Таблица свойств функции:

Задача 3: $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$

а) Область определения:

Для того чтобы функция $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$ была определена, необходимо, чтобы выражение $\frac{1}{\sqrt{x}}$ было корректным. Это возможно, если $x > 0$, поскольку корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. Таким образом, область определения функции:

$$D(x) = (0; +\infty)$$

Ответ:

$$D(x) = (0; +\infty)$$

б) Производная функции:

Для нахождения производной функции $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$ используем стандартные правила дифференцирования:

• Производная от $x$ — это 1.
• Производная от $\frac{1}{\sqrt{x}}$ — это $\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Таким образом, производная функции будет:

$$y'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

Ответ:

$$y'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$

в) Стационарные точки:

Стационарные точки находятся, когда производная равна нулю:

$$1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = 0$$

Решим это уравнение:

$$\frac{1}{2x\sqrt{x}} = -1$$

Это уравнение не имеет решения, так как левая часть выражения всегда положительна для $x > 0$.

Ответ:
Стационарных точек нет.

г) Нули функции:

Нули функции $y = x — \frac{1}{\sqrt{x}}$ — это такие точки, где $y = 0$, то есть:

$$x — \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$$

Решим это уравнение:

$$x = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

Умножим обе части на $\sqrt{x}$ (при $x > 0$):

$$x\sqrt{x} = 1$$

Или:

$$x\sqrt{x} = 1$$

Таким образом, $x = 1$.

Ответ:
Нули функции: $x = 1$

д) Значения функции:

Для $x = 4$:

$$f(4) = 4 — \frac{1}{\sqrt{4}} = 4 — \frac{1}{2} = 3.5$$

Ответ:
Значение функции:

• $f(4) = 3.5$

е) Промежутки монотонности:

Поскольку производная $y'(x) = 1 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$ всегда положительна для $x > 0$, то функция возрастает на всей области определения $(0; +\infty)$.

Ответ:
Функция возрастает на $(0; +\infty)$.

ж) Таблица свойств функции: