ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 732 Алимов — Подробные Ответы

Сила переменного электрического тока является функцией, зависящей от времени, и выражается формулой

I = A sin (wf + фи),

где А — амплитуда колебания, w — частота, фи — начальная фаза. Построить график этой функции, если:

1. A=2, w=1, фи=пи/4;
2. A=1, w=2, фи=пи/3.

Формула зависимости силы переменного тока от времени:
$I = A \sin(\omega t + \varphi);$

1) $A = 2, \, \omega = 1, \, \varphi = \frac{\pi}{4}$

а) Область определения:
$D(t) = (0; +\infty);$

б) Область значений:
$-1 \leq \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1;$
$-2 \leq 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 2;$
$E(I) = [-2; 2];$

в) Период функции:
$I(t + T) = I(t);$
$2 \sin\left(t + T + \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right);$
$T = 2\pi;$

г) Нули функции:
$2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0;$
$\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0;$
$t + \frac{\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$
$t = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$

д) Максимальные значения:
$2 \sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 2;$
$\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 1;$
$t + \frac{\pi}{4} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{2\pi — \pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$

е) Минимальные значения:
$\sin\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = -1;$
$t + \frac{\pi}{4} = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{2\pi + \pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$

2) $A = 1, \, \omega = 2, \, \varphi = \frac{\pi}{3}$

а) Область определения:
$D(t) = (0; +\infty);$

б) Область значений:
$-1 \leq \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) \leq 1;$
$E(I) = [-1; 1];$

в) Период функции:
$I(t + T) = I(t);$
$\sin\left(2(t + T) + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right);$
$\sin\left(2t + \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right);$
$2T = 2\pi;$
$T = \pi;$

г) Нули функции:
$\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 0;$
$2t + \frac{\pi}{3} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$
$2t = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$
$t = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2};$

д) Максимальные значения:
$\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 1;$
$2t + \frac{\pi}{3} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$2t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi — 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$
$t = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{12} + \pi n;$

е) Минимальные значения:
$\sin\left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -1;$
$2t + \frac{\pi}{3} = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$
$2t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n;$
$t=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{5\pi }{6}+2\pi n)=-\frac{5\pi }{12}+\pi n$

$$$t = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) = -\frac{5\pi}{12} + \pi n;$

Дано:

Формула зависимости силы переменного тока от времени:

$$I = A \sin(\omega t + \varphi)$$

1) $A = 2, \quad \omega = 1, \quad \varphi = \frac{\pi}{4}$

Функция принимает вид:

$$I = 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

а) Область определения функции $I(t)$

Область определения — это множество всех значений $t$, для которых функция $I(t)$ определена.

• Функция синуса $\sin x$ определена на всей числовой оси $\mathbb{R}$, то есть для любого $x \in \mathbb{R}$.
• Здесь аргумент синуса — $t + \frac{\pi}{4}$, линейная функция от $t$, также определённая для всех $t \in \mathbb{R}$.

Следовательно:

$$D(t) = (-\infty; +\infty)$$

Однако в условии указано $D(t) = (0; +\infty)$, вероятно, учитывается, что $t$ — время, поэтому $t > 0$.

б) Область значений функции $I(t)$

• Синус принимает значения в промежутке $[-1; 1]$, то есть:

$$-1 \leq \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1$$

• Умножая на амплитуду $A=2$, получаем:

$$-2 \leq 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) \leq 2$$

Следовательно, область значений:

$$E(I) = [-2; 2]$$

в) Период функции $I(t)$

Период функции — это наименьшее положительное число $T$, при котором:

$$I(t + T) = I(t) \quad \text{для всех } t$$

Для синусоиды с аргументом $\omega t + \varphi$ период равен:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Здесь $\omega = 1$, значит:

$$T = \frac{2\pi}{1} = 2\pi$$

Проверим формально:

$$I(t + T) = 2 \sin \left(t + T + \frac{\pi}{4}\right) = 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

Это равенство верно, если

$$\sin \left(t + T + \frac{\pi}{4}\right) = \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)$$

Период синуса равен $2\pi$, значит:

$$T = 2\pi$$

г) Нули функции

Нули функции — это такие значения $t$, при которых

$$I(t) = 0$$

Подставляем функцию:

$$2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0 \implies \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 0$$

Синус равен нулю в точках:

$$t + \frac{\pi}{4} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$t = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

д) Максимальные значения функции

Максимальные значения достигаются, когда синус равен 1, так как амплитуда положительна.

Ищем $t$, при которых

$$I(t) = 2 \sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 2$$

То есть

$$\sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = 1$$

Синус равен 1 в точках:

$$t + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

е) Минимальные значения функции

Минимальные значения достигаются, когда синус равен -1.

Ищем $t$, при которых

$$\sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right) = -1$$

Синус равен -1 в точках:

$$t + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

2) $A = 1, \quad \omega = 2, \quad \varphi = \frac{\pi}{3}$

Функция:

$$I = \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right)$$

а) Область определения функции $I(t)$

Как и в предыдущем случае:

$$D(t) = (0; +\infty)$$

б) Область значений функции $I(t)$

$$-1 \leq \sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) \leq 1$$

Т.к. $A = 1$, то

$$E(I) = [-1; 1]$$

в) Период функции $I(t)$

Период синуса с аргументом $\omega t + \varphi$ равен:

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

Здесь $\omega = 2$, значит

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

г) Нули функции

Нули:

$$\sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 0$$

Значит:

$$2t + \frac{\pi}{3} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Отсюда

$$2t = -\frac{\pi}{3} + \pi n$$ $$t = \frac{1}{2} \left(-\frac{\pi}{3} + \pi n\right) = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$$

д) Максимальные значения функции

Максимум достигается при

$$\sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = 1$$

Откуда

$$2t + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Решаем:

$$2t = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi — 2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ $$t = \frac{1}{2} \left(\frac{\pi}{6} + 2\pi n\right) = \frac{\pi}{12} + \pi n$$

е) Минимальные значения функции

Минимум при

$$\sin \left(2t + \frac{\pi}{3}\right) = -1$$

Тогда

$$2t + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Решаем:

$$2t = -\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = -\frac{3\pi + 2\pi}{6} + 2\pi n = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$ $$t = \frac{1}{2} \left(-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n\right) = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$$