ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1552 Алимов — Подробные Ответы

1. y=(2x+1)2 корень (x-1);
2. y=x2 корень 3 степени (x+1)2.

1) $y = (2x + 1)^2 \cdot \sqrt{x — 1}$

$$y'(x) = (2x + 1)^2 \cdot \sqrt{x — 1} + (2x + 1)^2 \cdot (x — 1)^{\frac{1}{2}};$$ $$y'(x) = 2 \cdot 2(2x + 1) \cdot \sqrt{x — 1} + (2x + 1)^2 \cdot \frac{1}{2}(x — 1)^{-\frac{1}{2}};$$ $$y'(x) = (8x + 4) \cdot \sqrt{x — 1} + \frac{(2x + 1)^2}{2\sqrt{x — 1}};$$ $$y'(x) = \frac{2(8x + 4)(x — 1) + (2x + 1)^2}{2\sqrt{x — 1}};$$ $$y'(x) = \frac{16x^2 — 16x + 8x — 8 + 4x^2 + 4x + 1}{2\sqrt{x — 1}};$$ $$y'(x) = \frac{20x^2 — 4x — 7}{2\sqrt{x — 1}};$$

2) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{(x + 1)^2}$

$$y'(x) = (x^2)’ \cdot \sqrt[3]{(x + 1)^2} + x^2 \cdot (\sqrt[3]{(x + 1)^2})’;$$ $$y'(x) = 2x \cdot \sqrt[3]{(x + 1)^2} + x^2 \cdot \frac{2}{3}(x + 1)^{-\frac{1}{3}};$$ $$y'(x) = \frac{2x \cdot 3(x + 1) + x^2 \cdot 2}{3\sqrt[3]{x + 1}};$$ $$y'(x) = \frac{6x^2 + 6x + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{8x^2 + 6x}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{2x(4x + 3)}{3\sqrt[3]{x + 1}};$$

1) $y = (2x + 1)^2 \cdot \sqrt{x — 1}$

Наша цель — найти производную функции $y(x)$. Для этого будем использовать правило произведения и цепное правило.

Шаг 1: Применим правило произведения

Сначала представим функцию как произведение двух функций:

$$f(x) = (2x + 1)^2 \quad \text{и} \quad g(x) = \sqrt{x — 1}.$$

Правило дифференцирования произведения гласит, что:

$$y'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).$$

Шаг 2: Находим производные $f(x)$ и $g(x)$

• Для функции $f(x) = (2x + 1)^2$, применяем правило дифференцирования сложной функции:

$$f'(x) = 2 \cdot (2x + 1) \cdot 2 = 4(2x + 1).$$

• Для функции $g(x) = \sqrt{x — 1} = (x — 1)^{\frac{1}{2}}$, применяем правило дифференцирования степенной функции:

$$g'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x — 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 = \frac{1}{2 \sqrt{x — 1}}.$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим все найденные производные в правило произведения:

$$y'(x) = 4(2x + 1) \cdot \sqrt{x — 1} + (2x + 1)^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x — 1}}.$$

Шаг 4: Приводим к общему знаменателю

Чтобы привести выражение к более компактному виду, преобразуем его:

$$y'(x) = \frac{2(8x + 4)(x — 1) + (2x + 1)^2}{2 \sqrt{x — 1}}.$$

Шаг 5: Раскрываем скобки и упрощаем

• Раскроем скобки в числителе:

$$(8x + 4)(x — 1) = 8x^2 — 8x + 4x — 4 = 8x^2 — 4x — 4,$$

так что:

$$2(8x + 4)(x — 1) = 16x^2 — 8x — 8.$$

• Теперь раскрываем вторую часть:

$$(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1.$$

Таким образом, числитель становится:

$$16x^2 — 8x — 8 + 4x^2 + 4x + 1 = 20x^2 — 4x — 7.$$

Шаг 6: Финальный ответ

Таким образом, производная функции $y(x)$ будет:

$$y'(x) = \frac{20x^2 — 4x — 7}{2 \sqrt{x — 1}}.$$

2) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{(x + 1)^2}$

Здесь также используем правило произведения и цепное правило.

Шаг 1: Применим правило произведения

Представим функцию как произведение двух функций:

$$f(x) = x^2 \quad \text{и} \quad g(x) = \sqrt[3]{(x + 1)^2}.$$

Правило дифференцирования произведения:

$$y'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).$$

Шаг 2: Находим производные $f(x)$ и $g(x)$

• Для функции $f(x) = x^2$, производная проста:

$$f'(x) = 2x.$$

• Для функции $g(x) = (x + 1)^2$, применяем цепное правило. Сначала находим производную внешней функции:

$$g'(x) = \frac{2}{3} (x + 1)^{-\frac{1}{3}}.$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим найденные производные в правило произведения:

$$y'(x) = 2x \cdot \sqrt[3]{(x + 1)^2} + x^2 \cdot \frac{2}{3} (x + 1)^{-\frac{1}{3}}.$$

Шаг 4: Приводим к общему виду

Чтобы привести выражение к компактному виду, рассмотрим числитель:

$$y'(x) = \frac{2x \cdot 3(x + 1) + x^2 \cdot 2}{3\sqrt[3]{x + 1}} = \frac{6x^2 + 6x + 2x^2}{3\sqrt[3]{x + 1}}.$$

Шаг 5: Упрощаем

Приводим подобные:

$$y'(x) = \frac{8x^2 + 6x}{3 \sqrt[3]{x + 1}}.$$

Можно вынести $2x$ за скобки:

$$y'(x) = \frac{2x(4x + 3)}{3 \sqrt[3]{x + 1}}.$$

Шаг 6: Финальный ответ

Таким образом, производная функции $y(x)$ будет:

$$y'(x) = \frac{2x(4x + 3)}{3 \sqrt[3]{x + 1}}.$$