ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 751 Алимов — Подробные Ответы

1. arccos 1/корень 3 и arccos 1/корень 5;
2. arccos (-4/5) и arccos (-1/3).

Функция $y = \arccos x$:

Убывает на отрезке $[-1; 1]$;

1. $\arccos \frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos \frac{1}{\sqrt{5}}$;
   $\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}}$;
   $\sqrt{3} < \sqrt{5}$;
   $3 < 5$;
2. $\arccos \left(-\frac{4}{5}\right) > \arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$;
   $-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3}$;
   $\frac{4}{5} > \frac{1}{3}$;
   $\frac{12}{15} > \frac{5}{15}$

Функция $y = \arccos x$:

Свойство: Функция $\arccos x$ является убывающей на промежутке $[-1; 1]$.
Это значит, что если $x_1 < x_2$, то $\arccos x_1 > \arccos x_2$.

Задача 1

Доказать, что

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Шаг 1: Используем свойство убывания функции $\arccos x$.

Поскольку $\arccos x$ убывает на $[-1,1]$, то если

$$\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}},$$

то должно быть

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

То есть, знак неравенства для аргументов обратный к знаку неравенства для значений функции.

Шаг 2: Сравним сами числа $\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Чтобы сравнить

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \quad \text{и} \quad \frac{1}{\sqrt{5}},$$

сравним их обратные: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$.

Шаг 3: Известно, что

$$\sqrt{3} \approx 1.732, \quad \sqrt{5} \approx 2.236,$$

следовательно

$$\sqrt{3} < \sqrt{5}.$$

Шаг 4: Из неравенства $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ вытекает

$$\frac{1}{\sqrt{3}} > \frac{1}{\sqrt{5}},$$

потому что при положительных числах больший знаменатель даёт меньшую дробь, а меньший знаменатель — большую дробь.

Шаг 5: Подставляя полученное в шаг 1, получаем:

$$\arccos \frac{1}{\sqrt{3}} < \arccos \frac{1}{\sqrt{5}}.$$

Вывод: неравенство доказано.

Задача 2

Доказать, что

$$\arccos \left(-\frac{4}{5}\right) > \arccos \left(-\frac{1}{3}\right).$$

Шаг 1: Снова используем свойство убывания функции $\arccos x$.

Если

$$-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3},$$

то

$$\arccos \left(-\frac{4}{5}\right) > \arccos \left(-\frac{1}{3}\right).$$

Шаг 2: Проверим неравенство для аргументов.

$$-\frac{4}{5} = -0.8, \quad -\frac{1}{3} \approx -0.333.$$

Очевидно, что

$$-0.8 < -0.333,$$

то есть

$$-\frac{4}{5} < -\frac{1}{3}.$$

Шаг 3: Для полноты проверим неравенство по абсолютным значениям.

$$\left|-\frac{4}{5}\right| = \frac{4}{5} = 0.8,$$ $$\left|-\frac{1}{3}\right| = \frac{1}{3} \approx 0.333.$$

Тогда

$$\frac{4}{5} > \frac{1}{3}.$$

Шаг 4: Для сравнения дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{1}{3}$ приведём их к общему знаменателю:

$$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 3}{5 \times 3} = \frac{12}{15},$$ $$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}.$$

Так как

$$12 > 5,$$

получаем

$$\frac{12}{15} > \frac{5}{15} \implies \frac{4}{5} > \frac{1}{3}.$$

Шаг 5: Следовательно, из шага 2 и свойства убывания $\arccos$ имеем

$$\arccos \left(-\frac{4}{5}\right) > \arccos \left(-\frac{1}{3}\right).$$

Итог: доказано.