ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 50 Алимов — Подробные Ответы

1. (корень 3 * корень 3 степени 9)/корень 6 степени 3;
2. (корень 3 степени 7 * корень 4 степени 343)/корень 12 степени 7;
3. (корень 3 степени 9 * корень 3 степени 6+ корень 3 степени 4)* ((корень 3 степени 3) — корень 3 степени 2).

1. $\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[2\cdot 3]{3^3}\cdot \sqrt[3\cdot 2]{9^2}}{\sqrt[6]{3}}=\frac{\sqrt[6]{3^3}\cdot \sqrt[6]{(3^2{)}^2}}{\sqrt[6]{3}}=\sqrt{\frac{3^3\cdot 3^4}{3}}=\sqrt[6]{3^6}=3$;
2. $\frac{\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[3\cdot 4]{7^4}\cdot \sqrt[4\cdot 3]{{343}^3}}{\sqrt[12]{7}}=\frac{\sqrt[12]{7^4}\cdot \sqrt[12]{(7^3{)}^3}}{\sqrt[12]{7}}=\sqrt[12]{\frac{7^4\cdot 7^9}{7}}=\sqrt[12]{7^{12}}=7$;
3. $(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})=$

$$=\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}=$$$$=\sqrt[3]{3^2\cdot 3}-\sqrt[3]{3^2\cdot 2}+\sqrt[3]{6\cdot 3}-\sqrt[3]{6\cdot 2}+\sqrt[3]{4\cdot 3}-\sqrt[3]{4\cdot 2}=$$$$=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt[3]{18}+\sqrt[3]{18}-\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{12}-\sqrt[3]{2^3}=$$$$=\sqrt[3]{3^3}-\sqrt[3]{2^3}=3-2=1$$

Задача 1:

$$\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{9}}{\sqrt[6]{3}}$$

Шаг 1: Преобразование выражений

• Начнём с преобразования радикалов в дробные показатели:
  • $\sqrt{3}=3^{1\mathrm{/}2}$
  • $\sqrt[3]{9}=9^{1\mathrm{/}3}=(3^2{)}^{1\mathrm{/}3}=3^{2\mathrm{/}3}$
  • $\sqrt[6]{3}=3^{1\mathrm{/}6}$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{3^{1\mathrm{/}2}\cdot 3^{2\mathrm{/}3}}{3^{1\mathrm{/}6}}$$

Шаг 2: Упрощение с использованием свойств степеней

• Мы можем воспользоваться свойством степеней $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ для числителя:

$$3^{1\mathrm{/}2}\cdot 3^{2\mathrm{/}3}=3^{1\mathrm{/}2+2\mathrm{/}3}$$

Чтобы сложить дроби, приведём их к общему знаменателю:

$$1\mathrm{/}2=3\mathrm{/}6,2\mathrm{/}3=4\mathrm{/}6$$

Таким образом:

$$1\mathrm{/}2+2\mathrm{/}3=3\mathrm{/}6+4\mathrm{/}6=7\mathrm{/}6$$

Теперь числитель равен $3^{7\mathrm{/}6}$. Таким образом, выражение теперь выглядит так:

$$\frac{3^{7\mathrm{/}6}}{3^{1\mathrm{/}6}}$$

Шаг 3: Упрощение дроби

• Применяем свойство степеней для деления: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

$$3^{7\mathrm{/}6-1\mathrm{/}6}=3^{6\mathrm{/}6}=3$$

Ответ:

$$3$$

Задача 2:

$$\frac{\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[4]{343}}{\sqrt[12]{7}}$$

Шаг 1: Преобразование выражений

• $\sqrt[3]{7}=7^{1\mathrm{/}3}$
• $\sqrt[4]{343}={343}^{1\mathrm{/}4}=(7^3{)}^{1\mathrm{/}4}=7^{3\mathrm{/}4}$
• $\sqrt[12]{7}=7^{1\mathrm{/}12}$

Подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{7^{1\mathrm{/}3}\cdot 7^{3\mathrm{/}4}}{7^{1\mathrm{/}12}}$$

Шаг 2: Упрощение с использованием свойств степеней

• Применяем свойства степеней $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ для числителя:

$$7^{1\mathrm{/}3}\cdot 7^{3\mathrm{/}4}=7^{1\mathrm{/}3+3\mathrm{/}4}$$

Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю:

$$1\mathrm{/}3=4\mathrm{/}12,3\mathrm{/}4=9\mathrm{/}12$$

Таким образом:

$$1\mathrm{/}3+3\mathrm{/}4=4\mathrm{/}12+9\mathrm{/}12=13\mathrm{/}12$$

Теперь числитель равен $7^{13\mathrm{/}12}$, и выражение становится:

$$\frac{7^{13\mathrm{/}12}}{7^{1\mathrm{/}12}}$$

Шаг 3: Упрощение дроби

• Применяем свойство степеней для деления:

$$7^{13\mathrm{/}12-1\mathrm{/}12}=7^{12\mathrm{/}12}=7$$

Ответ:

$$7$$

Задача 3:

$$(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})$$

Шаг 1: Раскрытие скобок Используем формулу для произведения (a + b + c)(d — e):

$$(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})\; =$$

$$=\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}$$

Шаг 2: Преобразование выражений Каждую пару радикалов можно записать как произведение степеней с одинаковым основанием:

• $\sqrt[3]{9}=3^{2\mathrm{/}3}$, $\sqrt[3]{3}=3^{1\mathrm{/}3}$, следовательно, $\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{3}=3^{2\mathrm{/}3+1\mathrm{/}3}=3^{3\mathrm{/}3}=3$
• $\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[3]{2}=3^{2\mathrm{/}3}\cdot 2^{1\mathrm{/}3}$
• $\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{3}=6^{1\mathrm{/}3}\cdot 3^{1\mathrm{/}3}=(6\cdot 3{)}^{1\mathrm{/}3}={18}^{1\mathrm{/}3}$
• $\sqrt[3]{6}\cdot \sqrt[3]{2}=6^{1\mathrm{/}3}\cdot 2^{1\mathrm{/}3}=(6\cdot 2{)}^{1\mathrm{/}3}={12}^{1\mathrm{/}3}$
• $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{3}=4^{1\mathrm{/}3}\cdot 3^{1\mathrm{/}3}=(4\cdot 3{)}^{1\mathrm{/}3}={12}^{1\mathrm{/}3}$
• $\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}=4^{1\mathrm{/}3}\cdot 2^{1\mathrm{/}3}=(4\cdot 2{)}^{1\mathrm{/}3}=8^{1\mathrm{/}3}=2$

Шаг 3: Упрощение выражений Теперь можно собрать всё вместе:

$$3-\sqrt[3]{2^3}+\sqrt[3]{18}-\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{12}-2$$

• $\sqrt[3]{2^3}=2$
• $\sqrt[3]{18}$ и $\sqrt[3]{12}$ сокращаются друг с другом

Получаем:

$$3-2=1$$

Ответ:

$$1$$