ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 790 Алимов — Подробные Ответы

1. $f(x)=\frac{1}{x^5}=x^{-5}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-5\cdot x^{-5-1}=-5\cdot x^{-6}=-\frac{5}{x^6}$;
2. $f(x)=\frac{1}{x^9}=x^{-9}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-9\cdot x^{-9-1}=-9\cdot x^{-10}=-\frac{9}{x^{10}}$;
3. $f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$;
4. $f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}\cdot x^{-\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$;
5. $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{-\frac{1}{3}}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{1}{3}-1}=-\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{4}{3}}=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}}=-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$;
6. $f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=x^{-\frac{3}{4}}$;
   $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}-1}=-\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{7}{4}}=-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}=-\frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$

Пример 1:

Дано: $f(x)=\frac{1}{x^5}=x^{-5}$

Нам нужно найти производную функции $f(x)$. Мы будем использовать правило дифференцирования степенных функций:

$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=n\cdot x^{n-1}$$

1. Функция: $f(x)=x^{-5}$. Здесь степень $n=-5$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-5}\right)=-5\cdot x^{-5-1}=-5\cdot x^{-6}$$
3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-6}$ как $\frac{1}{x^6}$. Таким образом, получаем: 

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-5\cdot \frac{1}{x^6}=-\frac{5}{x^6}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-5}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{5}{x^6}$.

Пример 2:

Дано: $f(x)=\frac{1}{x^9}=x^{-9}$

1. Функция: $f(x)=x^{-9}$. Здесь степень $n=-9$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-9}\right)=-9\cdot x^{-9-1}=-9\cdot x^{-10}$$
3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-10}$ как $\frac{1}{x^{10}}$. Таким образом, получаем: 

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-9\cdot \frac{1}{x^{10}}=-\frac{9}{x^{10}}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-9}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{9}{x^{10}}$.

Пример 3:

Дано: $f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}$

1. Функция: $f(x)=x^{\frac{1}{4}}$. Здесь степень $n=\frac{1}{4}$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{4}}\right)=\frac{1}{4}\cdot x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}}$$
3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-\frac{3}{4}}$ как $\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$, что равно $\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Таким образом, получаем: 

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{\frac{1}{4}}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Пример 4:

Дано: $f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}$

1. Функция: $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$. Здесь степень $n=\frac{2}{3}$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{2}{3}}\right)=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}\cdot x^{-\frac{1}{3}}$$
3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-\frac{1}{3}}$ как $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$, что равно $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$. Таким образом, получаем: 

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Пример 5:

Дано: $f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}=x^{-\frac{1}{3}}$

1. Функция: $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$. Здесь степень $n=-\frac{1}{3}$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-\frac{1}{3}}\right)=-\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{1}{3}-1}=-\frac{1}{3}\cdot x^{-\frac{4}{3}}$$
3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-\frac{4}{3}}$ как $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}}$. Таким образом, получаем: 

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{x\cdot x^{\frac{1}{3}}}=-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.

Пример 6:

Дано: $f(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=x^{-\frac{3}{4}}$

1. Функция: $f(x)=x^{-\frac{3}{4}}$. Здесь степень $n=-\frac{3}{4}$.
2. Применение правила дифференцирования:$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{-\frac{3}{4}}\right)=-\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{3}{4}-1}=-\frac{3}{4}\cdot x^{-\frac{7}{4}}$$
3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-\frac{7}{4}}$ как $\frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}=\frac{1}{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}$. Таким образом, получаем: 

   $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{x\cdot x^{\frac{3}{4}}}=-\frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$$

Ответ: производная функции $f(x)=x^{-\frac{3}{4}}$ равна $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Итоговые выводы:

Для каждого из этих примеров использовалось стандартное правило дифференцирования степенных функций, где степень $n$ была дробной или отрицательной. В каждом случае:

• Применяется стандартное правило дифференцирования степенной функции.
• В случае отрицательной степени результат записывается как дробь с положительным показателем в знаменателе.
• В случае дробных степеней результат выражается в виде корней с соответствующими индексами.

1. $f(x)=x^{-5}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{5}{x^6}$
2. $f(x)=x^{-9}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{9}{x^{10}}$
3. $f(x)=x^{\frac{1}{4}}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$
4. $f(x)=x^{\frac{2}{3}}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
5. $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$
6. $f(x)=x^{-\frac{3}{4}}$ => $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{3}{4\sqrt[4]{x^3}}$