ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1412 Алимов — Подробные Ответы

1. log1/2(log1/2((3x+1)/(x-1)) < =0;
2. log1/3(log4(c2-5)) > 0.

Задача 1:

$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1}\right) \leq 0$;

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1}\right) \leq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^0;$$ $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} \geq 1;$$ $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} \geq \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^1;$$ $$\frac{3x+1}{x-1} \leq \frac{1}{2} \quad | \cdot 2(x-1)^2;$$ $$2(3x+1)(x-1) \leq (x-1)^2;$$ $$2(3x^2 — 3x + x — 1) \leq x^2 — 2x + 1;$$ $$6x^2 — 4x — 2 \leq x^2 — 2x + 1;$$ $$5x^2 — 2x — 3 \leq 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 5 \cdot 3 = 4 + 60 = 64;$$ $$x_1 = \frac{2 — 8}{2 \cdot 5} = -\frac{3}{5} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = 1;$$ $$\left(x + \frac{3}{5}\right)(x — 1) \leq 0;$$ $$-\frac{3}{5} \leq x \leq 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{3x+1}{x-1} > 0;$$ $$(3x+1)(x-1) > 0;$$ $$x < -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x > 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} > 0;$$ $$\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} > \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^0;$$ $$\frac{3x+1}{x-1} < 1 \quad | \cdot (x-1)^2;$$ $$(3x+1)(x-1) < (x-1)^2;$$ $$3x^2 — 3x + x — 1 < x^2 — 2x + 1;$$ $$2x^2 < 2;$$ $$x < 1;$$ $$-1 < x < 1;$$

Ответ: $-\frac{3}{5} \leq x < -\frac{1}{3}$.

Задача 2:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2 — 5)\right) > 0$;

$$\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2 — 5)\right) > \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^0;$$ $$\log_4(x^2 — 5) < 1;$$ $$\log_4(x^2 — 5) < \log_4 4^1;$$ $$x^2 — 5 < 4;$$ $$x^2 < 9;$$ $$-3 < x < 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 5 > 0;$$ $$x^2 > 5;$$ $$x < -\sqrt{5} \quad \text{и} \quad x > \sqrt{5};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\log_4(x^2 — 5) > 0;$$ $$\log_4(x^2 — 5) > \log_4 4^0;$$ $$x^2 — 5 > 1;$$ $$x^2 > 6;$$ $$x < -\sqrt{6} \quad \text{и} \quad x > \sqrt{6};$$

Ответ: $-3 < x < -\sqrt{6}; \sqrt{6} < x < 3$.

Задача 1:

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1}\right) \leq 0$$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Поскольку в логарифмах нельзя брать логарифм от отрицательного или нулевого числа, нужно:

1. Внутренняя часть логарифма:

   $$\log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{3x+1}{x-1}\right) > 0$$

   Потому что аргумент внешнего логарифма должен быть положительным.

2. Аргумент внутреннего логарифма тоже должен быть положительным:

   $$\frac{3x+1}{x-1} > 0$$

Решим неравенство:

$$\frac{3x+1}{x-1} > 0$$

• Нули числителя и знаменателя:
  • $3x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$
  • $x — 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Разбиваем числовую прямую:

Точки: $x = -\frac{1}{3}$, $x = 1$. Расставим интервалы:

• $x < -\frac{1}{3}$:
  $(3x+1) < 0$, $(x-1) < 0$ → дробь положительна
• $-\frac{1}{3} < x < 1$:
  числитель > 0, знаменатель < 0 → дробь отрицательна
• $x > 1$:
  и числитель, и знаменатель > 0 → дробь положительна

Ответ:

$$x < -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x > 1$$

Это часть ОДЗ. Но ещё не всё.

Шаг 2: Условие задачи

$$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1}\right) \leq 0$$

Подсказка: $\log_b a \leq 0 \iff a \leq 1$, если $b < 1$, и $a > 0$

База $\frac{1}{2}$ — меньше 1, поэтому логарифм убывает.

Следовательно, если:

$$\log_{\frac{1}{2}} A \leq 0 \Rightarrow A \geq 1$$

Применим это к нашей задаче:

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} \right) \leq 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} \geq 1$$

Шаг 3: Преобразуем внутреннее логарифмическое неравенство

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{3x+1}{x-1} \geq 1$$

Опять логарифм по основанию меньше 1, функция убывает, значит:

$$\frac{3x+1}{x-1} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$$

Преобразуем:

$$\frac{3x+1}{x-1} \leq \frac{1}{2}$$

Переносим всё в одну сторону:

$$\frac{3x+1}{x-1} — \frac{1}{2} \leq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(3x+1) — (x-1)}{2(x-1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{6x+2 — (x-1)}{2(x-1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{5x+3}{2(x-1)} \leq 0$$

Шаг 4: Решаем дробное неравенство

$$\frac{5x+3}{2(x-1)} \leq 0$$

Нули числителя и знаменателя:

• $5x+3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{5}$
• $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Чертим числовую прямую и расставляем интервалы:

• $x < -\frac{3}{5}$: числитель < 0, знаменатель < 0 → дробь положительна
• $-\frac{3}{5} < x < 1$: числитель > 0, знаменатель < 0 → дробь отрицательна
• $x > 1$: всё > 0 → дробь положительна

Знак $\leq 0$ означает, что берём отрицательные значения и ноль (включая точку $x = -\frac{3}{5}$).

Ответ на неравенство:

$$x \in \left[ -\frac{3}{5}, 1 \right)$$

Шаг 5: Пересекаем с ОДЗ

Напомним, ОДЗ:

$$x < -\frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x > 1$$

Результат неравенства:

$$-\frac{3}{5} \leq x < 1$$

Пересечение этих двух множеств:

• Общее: $x \in \left[ -\frac{3}{5}, -\frac{1}{3} \right)$

Ответ к Задаче 1:

$$\boxed{-\frac{3}{5} \leq x < -\frac{1}{3}}$$

Задача 2:

$$\log_{\frac{1}{3}} \left( \log_4(x^2 — 5) \right) > 0$$

Шаг 1: Область допустимых значений

Чтобы логарифмы имели смысл, нужно:

1. $x^2 — 5 > 0 \Rightarrow x < -\sqrt{5},\ x > \sqrt{5}$
2. $\log_4(x^2 — 5)$ — аргумент внешнего логарифма, должен быть положительным:

   $$\log_4(x^2 — 5) > 0 \Rightarrow x^2 — 5 > 4^0 = 1 \Rightarrow x^2 > 6 \Rightarrow x < -\sqrt{6},\ x > \sqrt{6}$$

Значит, ОДЗ:

$$x < -\sqrt{6} \quad \text{или} \quad x > \sqrt{6}$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(x^2 — 5)\right) > 0$$

Так как основание $\frac{1}{3} < 1$, логарифм убывает:

$$\log_{\frac{1}{3}} A > 0 \Rightarrow A < 1$$

Значит:

$$\log_4(x^2 — 5) < 1$$

Шаг 3: Уберём логарифм

$$\log_4(x^2 — 5) < \log_4 4^1 \Rightarrow x^2 — 5 < 4 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3$$

Шаг 4: Пересекаем с ОДЗ

• Результат неравенства: $-3 < x < 3$
• ОДЗ: $x < -\sqrt{6} \approx -2.45$ и $x > \sqrt{6} \approx 2.45$

Пересечение:

• $x \in (-3, -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, 3)$

Ответ к Задаче 2:

$$\boxed{-3 < x < -\sqrt{6};\ \sqrt{6} < x < 3}$$