ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 177 Алимов — Подробные Ответы

Расположить числа в порядке возрастания:

1. 0,3^пи, 0,3^0,5, 0,3^2/3,0,3^3,1415;
2. корень 2пи, 1,9пи, (1/корень 2)пи, пи^пи;
3. 5^-2, 5^-0,7, 5^1/3, (1/5)2,1;
4. 0,5^-2/3, 1,3^-2/3, пи^-2/3, (корень 2)^-2/3.

$0,3^\pi$, $0,3^{0.5}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{3,1315}$;

$\pi \approx 3,1415926 \ldots$;

$0,5 = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$;

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$;

$0,5 < \frac{2}{3} < 3,1415 < \pi$;

Ответ: $0,3^\pi$, $0,3^{3,1415}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{0.5}$.

2. $\sqrt[2]{2^\pi}$, $1,9^\pi$, $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\pi$, $\pi^\pi$;

$196 < 200 < 225 \quad \Rightarrow \quad 14 < \sqrt{200} < 15 \quad \Rightarrow \quad 1,4 < \sqrt{2} < 1,5$;

$\sqrt{2} > 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$;

$\frac{1}{\sqrt{2}} < \sqrt{2} < 1,9 < \pi$;

Ответ: $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\pi$, $\sqrt{2}^\pi$, $1,9^\pi$, $\pi^\pi$.

$5^{-2}$, $5^{-0.7}$, $5^{\frac{1}{3}}$, $\left( \frac{1}{5} \right)^{2.1}$;

$\left( \frac{1}{5} \right)^{2.1} = 5^{-2.1}$;

$-2,1 < -2 < -0,7 < \frac{1}{3}$;

Ответ: $\left( \frac{1}{5} \right)^{2.1}$, $5^{-2}$, $5^{-0.7}$,$5^{\frac{1}{3}}$.

$0,5^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$;

$196 < 200 < 225 \quad \Rightarrow \quad 14 < \sqrt{200} < 15 \quad \Rightarrow \quad 1,4 < \sqrt{2} < 1,5$;

$\pi \approx 3,1415 \ldots$;

$0,5 < 1,3 < \sqrt{2} < \pi$;

Ответ: $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $0,5^{-\frac{2}{3}}$.

1) $0,3^\pi$, $0,3^{0.5}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{3,1315}$

• Заданы степени с различными показателями. Для начала стоит понять, как влияет степень на значение числа для основания 0$$,30,3, которое меньше 1.

Если основание меньше 1, то увеличение показателя степени уменьшает значение числа.

$\pi \approx 3,1415926 \ldots$,  $0,5 = \frac{1}{2} = \frac{3}{6}$,  $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$,  $0,5 < \frac{2}{3} < 3,1415 < \pi$.

• Для вычисления значений:

$0,3^\pi$: так как $\pi$ — большое число, то значение $0,3^\pi$ будет очень маленьким.

$0,3^{3,1315}$: аналогично, показатель степени также велик, следовательно, число будет очень маленьким.

$0,3^{\frac{2}{3}}$: показатель степени меньше, чем $\pi$ или $3,1315$, но всё равно меньше 1, что даёт число больше, чем при большей степени.

$0,3^{0.5}$: это наименьший показатель, следовательно, результат будет наибольшим из предложенных.

Ответ: $0,3^\pi$, $0,3^{3,1415}$, $0,3^{\frac{2}{3}}$, $0,3^{0.5}$.

2) $\sqrt[2]{2^\pi}$, $1,9^\pi$, $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\pi$, $\pi^\pi$

• Сначала определим, как влияют показатели степени на числа.

$2^\pi$— это большое число, так как $\pi$ — большое, а $2^\pi$ будет значительно больше 2.

$1,9^\pi$ — меньше, чем $2^\pi$, но всё равно это показатель с большими значениями.

$\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\pi$— так как $\frac{1}{\sqrt{2}} < 1$, то значение будет меньше 1.

$\pi^\pi$ — самое большое значение, так как и основание, и показатель степени велики.

• Для вычислений:

$2^\pi \approx 8.824$ и $\sqrt{2}^\pi \approx 2.64$.

$\pi^\pi$ даёт ещё большее значение, чем $2^\pi$, так как и основание, и степень велики.

Ответ: $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^\pi$, $\sqrt{2}^\pi$, $1,9^\pi$, $\pi^\pi$.

3) $5^{-2}$, $5^{-0.7}$, $5^{\frac{1}{3}}$ , $\left( \frac{1}{5} \right)^{2.1}$

• Показатели степени отрицательные для первых двух чисел, что означает, что значение этих чисел будет меньше 1.

$5^{-2}$ — это дробь, равная $\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$, то есть очень маленькое число.

$5^{-0.7}$ — также дробь, но показатель степени не такой большой, поэтому результат будет больше, чем $5^{-2}$, но всё равно меньше 1.

$5^{\frac{1}{3}}$ — это кубический корень из 5, и результат будет больше 1.

$\left( \frac{1}{5} \right)^{2.1} = 5^{-2.1}$ — это ещё меньше, чем  $5^{-2}$.

Ответ: $\left( \frac{1}{5} \right)^{2.1}$, $5^{-2}$, $5^{-0.7}$, $5^{\frac{1}{3}}$.

4) $0,5^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$

• Заданы отрицательные показатели, что приведёт к значениям, меньшим 1.

$0,5^{-\frac{2}{3}}$ — так как основание меньше 1, а показатель отрицательный, то результат будет больше 1.

$1,3^{-\frac{2}{3}}$ — аналогично, это число также будет больше 1.

$\pi^{-\frac{2}{3}}$ — значение будет меньше 1, так как основание больше 1 и показатель отрицательный.

$(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$ — результат тоже будет меньше 1, так как основание больше 1, а показатель отрицательный.

Ответ: $\pi^{-\frac{2}{3}}$, $(\sqrt{2})^{-\frac{2}{3}}$, $1,3^{-\frac{2}{3}}$, $0,5^{-\frac{2}{3}}$.