ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 281 Алимов — Подробные Ответы

1. log2log3(81);
2. log3log2(8);
3. 2log27log10(1000);
4. 1/3log9log2(8);
5. 3log2log4(16) + log1/2(2).

1. ${\log }_2{\log }_{3}81={\log }_2{\log }_3{3}^4={\log }_{2}4={\log }_2{2}^2=2$
2. ${\log }_3{\log }_{2}8={\log }_3{\log }_2{2}^3={\log }_{3}3=1$
3. $2{\log }_{27}{\log }_{10}1000=2{\log }_{27}{\log }_{10}{10}^3=2{\log }_{27}3=2{\log }_{27}(3^3{)}^{\frac{1}{3}}=2{\log }_{27}{27}^{\frac{1}{3}}=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$
4. $\frac{1}{3}{\log }_9{\log }_{2}8=\frac{1}{3}{\log }_9{\log }_2{2}^3=\frac{1}{3}{\log }_{9}3=\frac{1}{3}{\log }_9(3^2{)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}{\log }_9{9}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$
5. $3{\log }_2{\log }_{4}16+{\log }_{\frac{1}{2}}2=3{\log }_2{\log }_4{4}^2+{\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$

$=3{\log }_{2}2+(-1)=3\cdot 1-1=3-1=2$

Задача 1:

$${\log }_2{\log }_{3}81$$

1. Рассмотрим внутреннюю логарифмическую функцию ${\log }_{3}81$. Число 81 можно представить как степень числа 3:$$81=3^4$$

   Таким образом:

   $${\log }_{3}81={\log }_3{3}^4=4$$

2. Теперь переходим ко внешнему логарифму. Нам нужно вычислить ${\log }_{2}4$. Число 4 можно представить как степень числа 2:$$4=2^2$$

   Тогда:

   $${\log }_{2}4={\log }_2{2}^2=2$$

Таким образом, получаем:

$${\log }_2{\log }_{3}81=2$$

Задача 2:

$${\log }_3{\log }_{2}8$$

1. Начнём с внутренней логарифмической функции ${\log }_{2}8$. Число 8 можно записать как степень числа 2:$$8=2^3$$

   Тогда:

   $${\log }_{2}8={\log }_2{2}^3=3$$

2. Теперь вычислим внешний логарифм ${\log }_{3}3$:$${\log }_{3}3=1$$

Таким образом, получаем:

$${\log }_3{\log }_{2}8=1$$

Задача 3:

$$2{\log }_{27}{\log }_{10}1000$$

1. Начнём с вычисления внутреннего логарифма ${\log }_{10}1000$. Число 1000 можно представить как степень числа 10:$$1000={10}^3$$

   Тогда:

   $${\log }_{10}1000={\log }_{10}{10}^3=3$$

2. Теперь рассмотрим логарифм ${\log }_{27}3$. Заметим, что 27 — это степень числа 3:$$27=3^3$$

   Тогда:

   $${\log }_{27}3={\log }_{3^3}3$$

   Используем свойство логарифмов: ${\log }_{a^k}b=\frac{1}{k}{\log }_{a}b$. Подставляем:

   $${\log }_{27}3=\frac{1}{3}{\log }_{3}3=\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3}$$

3. Теперь можно вычислить выражение:$$2{\log }_{27}{\log }_{10}1000=2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

Таким образом:

$$2{\log }_{27}{\log }_{10}1000=\frac{2}{3}$$

Задача 4:

$$\frac{1}{3}{\log }_9{\log }_{2}8$$

1. Начнём с вычисления внутреннего логарифма ${\log }_{2}8$. Мы уже знаем, что:$${\log }_{2}8=3$$
2. Теперь нужно вычислить ${\log }_{9}3$. Число 9 можно представить как степень числа 3:$$9=3^2$$

   Тогда:

   $${\log }_{9}3={\log }_{3^2}3$$

   Используем тот же закон для логарифмов:

   $${\log }_{9}3=\frac{1}{2}{\log }_{3}3=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}$$

3. Теперь вычислим выражение:$$\frac{1}{3}{\log }_9{\log }_{2}8=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$$

Таким образом:

$$\frac{1}{3}{\log }_9{\log }_{2}8=\frac{1}{6}$$

Задача 5:

$$3{\log }_2{\log }_{4}16+{\log }_{\frac{1}{2}}2$$

1. Рассмотрим сначала ${\log }_{4}16$. Число 16 можно представить как степень числа 4:$$16=4^2$$

   Тогда:

   $${\log }_{4}16={\log }_4{4}^2=2$$

2. Теперь вычислим $3{\log }_2{\log }_{4}16$:$$3{\log }_{2}2=3\cdot 1=3$$
3. Рассмотрим второй логарифм ${\log }_{\frac{1}{2}}2$. Для этого используем свойство логарифмов:$${\log }_{\frac{1}{2}}2=\frac{1}{{\log }_2\frac{1}{2}}=\frac{1}{-1}=-1$$
4. Теперь вычислим полное выражение:$$3{\log }_2{\log }_{4}16+{\log }_{\frac{1}{2}}2=3+(-1)=3-1=2$$

Таким образом:

$$3{\log }_2{\log }_{4}16+{\log }_{\frac{1}{2}}2=2$$

В итоге мы получили следующие результаты для каждой из задач:

1. ${\log }_2{\log }_{3}81=2$
2. ${\log }_3{\log }_{2}8=1$
3. $2{\log }_{27}{\log }_{10}1000=\frac{2}{3}$
4. $\frac{1}{3}{\log }_9{\log }_{2}8=\frac{1}{6}$
5. $3{\log }_2{\log }_{4}16+{\log }_{\frac{1}{2}}2=2$