ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 365 Алимов — Подробные Ответы

1. $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}<1$
2. ${\log }_3(2-3^{-x})<x+1-{\log }_{3}4$
3. ${\log }_{x^2-3}(4x+7)>0$
4. ${\log }_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt{6}-2x)<0$

Задача 1:

$\frac{1}{5 — \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} < 1$;

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$\frac{1}{5-y}+\frac{2}{1+y}<1;$$

$$\frac{1}{5 — y} + \frac{2}{1 + y} < 1;$$ $$\frac{1+y+2(5-y)-(5-y)(1+y)}{(5-y)(1+y)}<0;$$

$$\frac{1 + y + 2(5 — y) — (5 — y)(1 + y)}{(5 — y)(1 + y)} < 0;$$ $$\frac{1+y+10-2y-5-5y+y+y^2}{(5-y)(1+y)}<0;$$

$$\frac{1 + y + 10 — 2y — 5 — 5y + y + y^2}{(5 — y)(1 + y)} < 0;$$ $$\frac{y^2-5y+6}{(5-y)(1+y)}<0;$$

$$\frac{y^2 — 5y + 6}{(5 — y)(1 + y)} < 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{ тогда: }$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$$ $$y_1=\frac{5-1}{2}=2\text{и}{y}_2=\frac{5+1}{2}=3;$$

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$ $$(y-2)(y-3)<0;$$

$$(y — 2)(y — 3) < 0;$$ $$(y+1)(y-2)(y-3)(5-y)<0;$$

$$(y + 1)(y — 2)(y — 3)(5 — y) < 0;$$ $$(y+1)(y-2)(y-3)(y-5)>0;$$

$$(y + 1)(y — 2)(y — 3)(y — 5) > 0;$$ $$y < -1; \quad 2 < y < 3; \quad y > 5;$$

Первое значение:

$$\lg x<-1;$$

$$\lg x < -1;$$ $$\lg x<\lg {10}^{-1};$$

$$\lg x < \lg 10^{-1};$$ $$x < 10^{-1}, \text{ отсюда } x < 0.1;$$

Второе значение:

$$\lg x>2;$$

$$\lg x > 2;$$ $$\lg x>\lg {10}^2;$$

$$\lg x > \lg 10^2;$$ $$x > 10^2, \text{ отсюда } x > 100;$$

Третье значение:

$$\lg x<3;$$

$$\lg x < 3;$$ $$\lg x<\lg {10}^3;$$

$$\lg x < \lg 10^3;$$ $$x < 10^3, \text{ отсюда } x < 1000;$$

Четвертое значение:

$$\lg x>5;$$

$$\lg x > 5;$$ $$\lg x>\lg {10}^5;$$

$$\lg x > \lg 10^5;$$ $$x > 10^5, \text{ отсюда } x > 100000;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $0 < x < 0.1; \quad 100 < x < 1000; \quad x > 100000$.

Задача 2:

$\log_3(2 — 3^{-x}) < x + 1 — \log_3 4$;

$${\log }_3(2-3^{-x})<{\log }_3{3}^x+{\log }_{3}3-{\log }_{3}4;$$

$$\log_3(2 — 3^{-x}) < \log_3 3^x + \log_3 3 — \log_3 4;$$ $${\log }_3(2-3^{-x})<{\log }_3\frac{3\cdot 3^x}{4};$$

$$\log_3(2 — 3^{-x}) < \log_3 \frac{3 \cdot 3^x}{4};$$ $$2-3^{-x}<\frac{3\cdot 3^x}{4};$$

$$2 — 3^{-x} < \frac{3 \cdot 3^x}{4};$$ $$4(2-3^{-x})<3\cdot 3^x;$$

$$4(2 — 3^{-x}) < 3 \cdot 3^x;$$ $$8-4\cdot 3^{-x}<3\cdot 3^x;$$

$$8 — 4 \cdot 3^{-x} < 3 \cdot 3^x;$$ $$3\cdot 3^x-8+4\cdot 3^{-x}>0\mathrm{\mid }\cdot 3^x;$$

$$3 \cdot 3^x — 8 + 4 \cdot 3^{-x} > 0 \quad | \cdot 3^x;$$ $$3 \cdot 3^{2x} — 8 \cdot 3^x + 4 > 0;$$

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$$3y^2-8y+4>0;$$

$$3y^2 — 8y + 4 > 0;$$ $$D=8^2-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,\text{ тогда: }$$

$$D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 — 48 = 16, \text{ тогда: }$$ $$y_1=\frac{8-4}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3};$$

$$y_1 = \frac{8 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$ $$y_2=\frac{8+4}{2\cdot 3}=\frac{12}{6}=2;$$

$$y_2 = \frac{8 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$ $$(y-\frac{2}{3})(y-2)>0;$$

$$\left( y — \frac{2}{3} \right)(y — 2) > 0;$$ $$y < \frac{2}{3} \quad \text{и} \quad y > 2;$$

Первое значение:

$$3^x<\frac{2}{3};$$

$$3^x < \frac{2}{3};$$ $$\log_3 3^x < \log_3 \frac{2}{3}, \text{ отсюда } x < \log_3 \frac{2}{3};$$

Второе значение:

$$3^x>2;$$

$$3^x > 2;$$ $$\log_3 3^x > \log_3 2, \text{ отсюда } x > \log_3 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2-3^{-x}>0;$$

$$2 — 3^{-x} > 0;$$ $$3^{-x}<2;$$

$$3^{-x} < 2;$$ $${\log }_3{3}^{-x}<{\log }_{3}2;$$

$$\log_3 3^{-x} < \log_3 2;$$ $$-x<{\log }_{3}2;$$

$$-x < \log_3 2;$$ $$x>-{\log }_{3}2;$$

$$x > -\log_3 2;$$ $$x > \log_3 2^{-1}, \text{ отсюда } x > \log_3 \frac{1}{2};$$

Ответ: $\log_3 \frac{1}{2} < x < \log_3 \frac{2}{3}; \quad x > \log_3 2$.

Задача 3:

$\log_{x^2 — 3}(4x + 7) > 0$;

$$\log_{x^2 — 3}(4x + 7) > \log_{x^2 — 3} 1;$$

Основание логарифма:

$$x^2-3>1;$$

$$x^2 — 3 > 1;$$ $$x^2>4;$$

$$x^2 > 4;$$ $$x < -2 \quad \text{и} \quad x > 2;$$

Если $x < -2$ или $x > 2$, тогда:

$$4x+7>1;$$

$$4x + 7 > 1;$$ $$4x > -6, \text{ отсюда } x > -1.5;$$

Если $-2 < x < 2$, тогда:

$$4x+7<1;$$

$$4x + 7 < 1;$$ $$4x < -6, \text{ отсюда } x < -1.5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-3>0;$$

$$x^2 — 3 > 0;$$ $$x^2>3;$$

$$x^2 > 3;$$ $$x < -\sqrt{3} \quad \text{и} \quad x > \sqrt{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$4x+7>0;$$

$$4x + 7 > 0;$$ $$4x > -7, \text{ отсюда } x > -1.75;$$

Ответ: $-1.75 < x < -\sqrt{3}; \quad x > 2$.

Задача 4:

$\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt{6} — 2x) < 0$;

$$\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt{6} — 2x) < \log_{\frac{x-1}{5x-6}} 1;$$

Основание логарифма:

$$\frac{x-1}{5x-6}>1;$$

$$\frac{x-1}{5x-6} > 1;$$ $$\frac{x-1}{5x-6}-1>0;$$

$$\frac{x-1}{5x-6} — 1 > 0;$$ $$\frac{x-1-5x+6}{5x-6}>0;$$

$$\frac{x-1 — 5x + 6}{5x-6} > 0;$$ $$\frac{5-4x}{5x-6}>0;$$

$$\frac{5 — 4x}{5x — 6} > 0;$$ $$\frac{4x-5}{5x-6}<0;$$

$$\frac{4x — 5}{5x — 6} < 0;$$ $$(5x-6)(4x-5)<0;$$

$$(5x — 6)(4x — 5) < 0;$$ $$1.2 < x < 1.25;$$

Если $1.2 < x < 1.25$, тогда:

$$\sqrt{6}-2x<1;$$

$$\sqrt{6} — 2x < 1;$$ $$-2x<1-\sqrt{6};$$

$$-2x < 1 — \sqrt{6};$$ $$x > \frac{\sqrt{6} — 1}{2};$$

Если $x < 1.2$ или $x > 1.25$, тогда:

$$\sqrt{6}-2x>1;$$

$$\sqrt{6} — 2x > 1;$$ $$x < \frac{\sqrt{6} — 1}{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x-1}{5x-6}>0;$$

$$\frac{x-1}{5x-6} > 0;$$ $$(x-1)(5x-6)>0;$$

$$(x-1)(5x-6) > 0;$$ $$x < 1 \quad \text{и} \quad x > 1.2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sqrt{6}-2x>0;$$

$$\sqrt{6} — 2x > 0;$$ $$2x < \sqrt{6}, \text{ отсюда } x < \frac{\sqrt{6}}{2};$$

Ответ: $x < \frac{\sqrt{6} — 1}{2}; \quad 1.2 < x < \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Задача 1:

$$\frac{1}{5 — \lg x} + \frac{2}{1 + \lg x} < 1$$

Шаг 1. Подстановка

Пусть $y = \lg x$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{1}{5 — y} + \frac{2}{1 + y} < 1$$

Шаг 2. Приводим к общему знаменателю

Найдём общий знаменатель: $(5 — y)(1 + y)$

Домножим каждую дробь:

$$\frac{1(1 + y)}{(5 — y)(1 + y)} + \frac{2(5 — y)}{(5 — y)(1 + y)} < \frac{(5 — y)(1 + y)}{(5 — y)(1 + y)}$$

Приведём левую часть:

$$\frac{1 + y + 10 — 2y}{(5 — y)(1 + y)} < 1 \Rightarrow \frac{11 — y}{(5 — y)(1 + y)} < 1$$

Переносим правую часть:

$$\frac{11 — y — (5 — y)(1 + y)}{(5 — y)(1 + y)} < 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(5 — y)(1 + y) = 5(1 + y) — y(1 + y) = 5 + 5y — y — y^2 = 5 + 4y — y^2$$

Теперь числитель:

$$11 — y — (5 + 4y — y^2) = 11 — y — 5 — 4y + y^2 = y^2 — 5y + 6$$

Получаем:

$$\frac{y^2 — 5y + 6}{(5 — y)(1 + y)} < 0$$

Шаг 3. Найдём нули числителя и знаменателя

Числитель: $y^2 — 5y + 6$

$$D = 25 — 24 = 1 \Rightarrow y_1 = 2,\quad y_2 = 3$$

Знаменатель:

• $5 — y = 0 \Rightarrow y = 5$
• $1 + y = 0 \Rightarrow y = -1$

Шаг 4. Метод интервалов

Отмечаем на числовой прямой: $-1$, $2$, $3$, $5$

Знаки множителей:

• $y + 1$
• $y — 2$
• $y — 3$
• $y — 5$

Изменим знак $5 — y$ на $y — 5$, так как в методе интервалов удобнее работать с выражением $> 0$.

Итоговое неравенство:

$$\frac{(y — 2)(y — 3)}{(y + 1)(y — 5)} < 0 \Rightarrow (y + 1)(y — 2)(y — 3)(y — 5) > 0$$

Решение:

• $y < -1$
• $2 < y < 3$
• $y > 5$

Шаг 5. Вернёмся к $x$

Из $y = \lg x$, выразим:

• $y < -1 \Rightarrow \lg x < -1 \Rightarrow x < 10^{-1} = 0.1$
• $2 < y < 3 \Rightarrow 100 < x < 1000$
• $y > 5 \Rightarrow x > 10^5 = 100000$

Шаг 6. ОДЗ

$\lg x$ определён при $x > 0$

Ответ:

$$\boxed{0 < x < 0.1; \quad 100 < x < 1000; \quad x > 100000}$$

Задача 2:

$$\log_3(2 — 3^{-x}) < x + 1 — \log_3 4$$

Шаг 1. Перепишем правую часть через логарифмы

$$x + 1 = \log_3(3^x) + \log_3 3 = \log_3(3^{x+1}) \Rightarrow x + 1 — \log_3 4 = \log_3 \left(\frac{3^{x+1}}{4} \right)$$

Таким образом:

$$\log_3(2 — 3^{-x}) < \log_3 \left(\frac{3^{x+1}}{4} \right) \Rightarrow 2 — 3^{-x} < \frac{3^{x+1}}{4}$$

Шаг 2. Избавимся от дробей

Умножим обе части на 4:

$$4(2 — 3^{-x}) < 3^{x+1} \Rightarrow 8 — 4 \cdot 3^{-x} < 3 \cdot 3^x$$

Шаг 3. Умножим на $3^x > 0$

$$3 \cdot 3^{2x} — 8 \cdot 3^x + 4 > 0$$

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$$3y^2 — 8y + 4 > 0$$

Шаг 4. Решим квадратное неравенство

$$D = 64 — 48 = 16 \Rightarrow y_1 = \frac{8 — 4}{6} = \frac{2}{3},\quad y_2 = \frac{12}{6} = 2$$ $$( y — \frac{2}{3})(y — 2) > 0 \Rightarrow y < \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad y > 2$$

Шаг 5. Вернёмся к $x$

• $3^x < \frac{2}{3} \Rightarrow x < \log_3 \frac{2}{3}$
• $3^x > 2 \Rightarrow x > \log_3 2$

Шаг 6. ОДЗ

Аргумент логарифма: $2 — 3^{-x} > 0 \Rightarrow 3^{-x} < 2$

Берём логарифм:

$$-x < \log_3 2 \Rightarrow x > -\log_3 2 = \log_3 \frac{1}{2}$$

Шаг 7. Пересечение

Итак:

• $x < \log_3 \frac{2}{3}$
• $x > \log_3 2$
• ОДЗ: $x > \log_3 \frac{1}{2}$

Ответ:

$$\boxed{\log_3 \frac{1}{2} < x < \log_3 \frac{2}{3}; \quad x > \log_3 2}$$

Задача 3:

$$\log_{x^2 — 3}(4x + 7) > 0 \Rightarrow \log_{x^2 — 3}(4x + 7) > \log_{x^2 — 3} 1$$

Логарифм $> 0 \Leftrightarrow$ аргумент $\ne 1$ и зависит от основания.

Шаг 1. Основание > 1

$$x^2 — 3 > 1 \Rightarrow x^2 > 4 \Rightarrow x < -2 \quad \text{или} \quad x > 2$$

Тогда по возрастанию логарифма:

$$4x + 7 > 1 \Rightarrow 4x > -6 \Rightarrow x > -1.5$$

Пересечение:

• $x < -2$: \text{не подходит (не удовлетворяет $x > -1.5$)}
• $x > 2$: подходит

Шаг 2. Основание $0 < x^2 — 3 < 1$

$$3 < x^2 < 4 \Rightarrow x \in (-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2)$$

Тогда логарифм убывает, и:

$$4x + 7 < 1 \Rightarrow 4x < -6 \Rightarrow x < -1.5$$

Пересекаем с $(-\sqrt{3}, -2)$:

$$x \in (-\sqrt{3}, -1.5)$$

Шаг 3. Общая область допустимости:

• Основание: $x^2 — 3 > 0 \Rightarrow x < -\sqrt{3} \cup x > \sqrt{3}$
• Аргумент: $4x + 7 > 0 \Rightarrow x > -1.75$

Ответ:

$$\boxed{-1.75 < x < -\sqrt{3}; \quad x > 2}$$

Задача 4:

$$\log_{\frac{x-1}{5x-6}}(\sqrt{6} — 2x) < 0 \Rightarrow \log_{\text{основание}} A < \log_{\text{основание}} 1$$

Шаг 1. Основание логарифма > 1

$$\frac{x-1}{5x-6} > 1 \Rightarrow \frac{x-1 — 5x + 6}{5x — 6} > 0 \Rightarrow \frac{5 — 4x}{5x — 6} > 0 \Rightarrow \frac{4x — 5}{5x — 6} < 0$$

Решаем:

$$(4x — 5)(5x — 6) < 0 \Rightarrow x \in (1.2; 1.25)$$

Шаг 2. Тогда: $\sqrt{6} — 2x < 1$

$$-2x < 1 — \sqrt{6} \Rightarrow x > \frac{\sqrt{6} — 1}{2}$$

Шаг 3. Если основание $< 1$, то:

$$\frac{x — 1}{5x — 6} < 1 \Rightarrow \frac{4x — 5}{5x — 6} > 0 \Rightarrow x < 1 \text{ или } x > 1.25$$

Тогда:

$$\sqrt{6} — 2x > 1 \Rightarrow x < \frac{\sqrt{6} — 1}{2}$$

Шаг 4. ОДЗ

• Основание: $\frac{x — 1}{5x — 6} > 0 \Rightarrow (x — 1)(5x — 6) > 0 \Rightarrow x < 1 \text{ или } x > 1.2$
• Аргумент: $\sqrt{6} — 2x > 0 \Rightarrow x < \frac{\sqrt{6}}{2}$

Ответ:

$$\boxed{x < \frac{\sqrt{6} — 1}{2}; \quad 1.2 < x < \frac{\sqrt{6}}{2}}$$